6. Яка величина MK, якщо хорда (CD⊥MN) має довжину 18см у колі з центром в точці O? 7. Яку довжину має радіус кола

Vadim

36

6. Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать некоторые свойства окружностей и круговых сегментов.

Мы знаем, что хорда \(CD\) перпендикулярна радиусу \(OM\) в точке \(N\). Поэтому, если мы нарисуем радиус \(OM\) и проведем перпендикуляр \(CD\) из точки \(C\) к \(OM\) в точке \(N\), то получим прямоугольный треугольник \(MCN\). По свойству прямоугольного треугольника, мы можем применить теорему Пифагора, где гипотенуза равна 18 см.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:
\[MN^2 + CN^2 = MC^2\]

Так как \(CN\) является радиусом окружности с центром в \(O\), равным радиусу \(OM\), то \(CN = CM = MK\). Поэтому уравнение принимает следующий вид:
\[MN^2 + MK^2 = MK^2\]

Сокращая \(MK^2\) с обеих сторон уравнения, получаем:
\[MN^2 = 0\]

Отсюда видно, что \(MN\) должна быть равна нулю. Это значит, что точки \(M\) и \(N\) совпадают. Таким образом, величина \(MK\) также будет равна нулю.

Итак, ответ на задачу: \(MK = 0\) см.

7. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, описанного вокруг данного треугольника.

Мы знаем, что гипотенуза этого треугольника равна 18 см. Обозначим радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника, как \(R\).

Тогда, согласно теореме Пифагора, мы можем записать следующее уравнение:
\[18^2 = a^2 + b^2\]

где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника.

Чтобы найти радиус \(R\), нам нужно найти значение \(a\) или \(b\) и затем подставить его в уравнение.

Воспользуемся условием задачи, где говорится, что одна из сторон прямоугольника равна 18 см. Пусть это будет катет \(a\), тогда мы можем записать следующее:
\[18^2 = 18^2 + b^2\]

Вычитая \(18^2\) с обеих сторон уравнения, получаем:
\[0 = b^2\]

Отсюда мы видим, что \(b\) также должно быть равно нулю. Это означает, что в прямоугольном треугольнике один катет имеет длину 0 и он является линией, проходящей через вершину. Также из этого следует, что радиус \(R\) окружности будет равен 18 см.

Итак, ответ на задачу: радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен 18 см.

8. Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства окружностей, внешний дотик и разницу радиусов.

Обозначим радиусы двух кругов через \(R_1\) и \(R_2\), где \(R_2\) больше \(R_1\) в 3 раза.

По свойству окружностей, внешняя дотик касательной кругов будет перпендикулярна линии, соединяющей центры кругов.

Мы знаем, что расстояние между центрами кругов равно 20 см.

Пусть \(R_2\) будет большим радиусом, а \(R_1\) - маленьким радиусом. Тогда мы можем записать следующее уравнение:
\[R_2 = 3R_1\]

По свойству окружностей, расстояние между центром маленького круга и точкой касания будет равно радиусу маленького круга (\(R_1\)). Аналогично, расстояние между центром большого круга и точкой касания будет равно радиусу большого круга (\(R_2\)).

Таким образом, сумма радиусов и расстояние между центрами должны быть равны:
\[R_1 + R_2 = 20\]

Мы также знаем, что \(R_2 = 3R_1\). Подставляя это в уравнение, получаем:
\[R_1 + 3R_1 = 20\]

Суммируя коэффициенты \(R_1\) с обеих сторон уравнения, получаем:
\[4R_1 = 20\]

Деля обе стороны уравнения на 4, получаем:
\[R_1 = 5\]

Теперь, зная значение \(R_1\), мы можем найти значение \(R_2\), подставляя его в уравнение \(R_2 = 3R_1\):
\[R_2 = 3 \cdot 5 = 15\]

Итак, ответ на задачу: радиус меньшего круга \(R_1\) равен 5 см, а радиус большего круга \(R_2\) равен 15 см.

9. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства вписанных треугольников и окружностей.

Мы знаем, что основа равнобедренного треугольника равна 12 см, а круг делит боковую сторону в отношении 2:3. Обозначим расстояние от основания треугольника (от точки деления к боковой стороне) до центра окружности как \(r\).

Из свойств вписанных треугольников следует, что линия, соединяющая вершину треугольника (вершину, которая противоположна основанию) с центром окружности, будет проходить через точку деления боковой стороны.

Таким образом, мы можем разделить боковую сторону на 2 и 3 части, что даст нам следующую диаграмму:
\[\frac{2}{5} \cdot 12 + \frac{3}{5} \cdot 12 = 4.8 + 7.2 = 12\]

Из диаграммы видно, что сумма расстояния от основания треугольника до точки деления и от точки деления до центра окружности равна радиусу окружности.

Поэтому, мы можем записать следующее уравнение:
\[r + \frac{3}{5} \cdot 12 = r + 7.2 = R\]

где \(R\) - радиус окружности.

Также, нам известно, что \(R\) равно половине периметра равнобедренного треугольника, вписанного в эту окружность.

Периметр равнобедренного треугольника состоит из двух равных сторон равных боковой стороне и основания. Мы знаем, что боковая сторона делится в отношении 2:3, тогда длина боковой стороны будет равна:
\[\frac{3}{5} \cdot 12 = 7.2\]

Таким образом, периметр равнобедренного треугольника равен:
\[2 \cdot 7.2 + 12 = 14.4 + 12 = 26.4\]

Получается, что радиус \(R\) будет равен половине этого значения:
\[R = \frac{26.4}{2} = 13.2\]

Итак, ответ на задачу: радиус окружности \(R\) равен 13.2 см.