Какова площадь треугольника с двумя сторонами, равными 13 см и 10 см, и косинусом угла между ними, равным 12/13?

Pugayuschiy_Lis

61

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника по двум сторонам и углу между ними. Формула имеет вид:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины сторон, а \(C\) - угол между этими сторонами.

В нашей задаче мы знаем две стороны треугольника: \(a = 13\) см и \(b = 10\) см, а также косинус угла между этими сторонами: \(\cos(C) = \frac{12}{13}\).

Для вычисления синуса угла \(C\) мы можем использовать тождество:

\[\sin^2(C) + \cos^2(C) = 1\]

Решим это уравнение для нахождения синуса:

\[\sin^2(C) = 1 - \cos^2(C) = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}\]

Затем найдем сам синус угла \(C\):

\[\sin(C) = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}\]

Теперь мы можем вставить известные значения \(a\), \(b\) и \(\sin(C)\) в формулу для нахождения площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 10 \cdot \frac{5}{13} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = \boxed{25}\]

Таким образом, площадь треугольника равна 25 квадратным сантиметрам.