7. Какова сумма коэффициентов в разложении выражения (2а + b)9? 8. Какой максимальный коэффициент в разложении

Sverkayuschiy_Dzhentlmen

54

7. Чтобы разложить выражение \((2a + b)^9\), мы можем использовать Бином Ньютона. По формуле Бинома Ньютона, коэффициенты в разложении будут соответствовать значениям комбинаторного коэффициента \(C(n, k)\), где \(n\) - это степень, а \(k\) - номер члена разложения (начиная с нуля). В данном случае \(n = 9\), а \(k\) будет принимать значения от 0 до 9.

Таким образом, сумма коэффициентов в разложении выражения \((2a + b)^9\) будет равна сумме значений комбинаторного коэффициента от \(k = 0\) до \(k = 9\):
\[
C(9, 0) + C(9, 1) + C(9, 2) + C(9, 3) + C(9, 4) + C(9, 5) + C(9, 6) + C(9, 7) + C(9, 8) + C(9, 9)
\]

Рассчитаем каждый комбинаторный коэффициент:
\[
C(9, 0) = 1, \quad C(9, 1) = 9, \quad C(9, 2) = 36, \quad C(9, 3) = 84, \quad C(9, 4) = 126,
\]
\[
C(9, 5) = 126, \quad C(9, 6) = 84, \quad C(9, 7) = 36, \quad C(9, 8) = 9, \quad C(9, 9) = 1
\]

Теперь сложим все полученные значения:
\[
1 + 9 + 36 + 84 + 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1 = 532
\]

Таким образом, сумма коэффициентов в разложении выражения \((2a + b)^9\) равна 532.

8. Чтобы найти максимальный коэффициент в разложении выражения \((a + b)\), мы можем использовать Бином Ньютона. Максимальный коэффициент будет получен при разложении до самой высокой степени каждого члена.

В данном случае у нас есть два члена - \(a\) и \(b\), и каждый может быть возвышен до первой степени. Поэтому максимальный коэффициент будет получен при разложении выражения в степень 1.

Таким образом, максимальный коэффициент в разложении выражения \((a + b)\) равен 1.

9. Чтобы найти количество способов разложения 10 одинаковых монет между 3 карманами, мы можем использовать формулу деления комбинаций с повторениями.

Формулу для деления комбинаций с повторениями можно записать следующим образом:
\[
C(n + k - 1, k - 1)
\]
где \(n\) - количество объектов, \(k\) - количество ячеек.

В данном случае у нас есть 10 одинаковых монет, которые мы размещаем между 3 карманами. Подставим значения в формулу:
\[
C(10 + 3 - 1, 3 - 1) = C(12, 2)
\]

Рассчитаем это значение:
\[
C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2} = 66
\]

Таким образом, существует 66 способов разложить 10 одинаковых монет между 3 карманами.

10. Чтобы найти количество способов разложения 10 разных монет между 3 карманами, мы можем использовать формулу деления перестановок с повторениями.

Формулу для деления перестановок с повторениями можно записать следующим образом:
\[
\frac{(n + k - 1)!}{n!(k-1)!}
\]
где \(n\) - количество разных объектов, \(k\) - количество ячеек.

В данном случае у нас есть 10 разных монет, которые мы размещаем между 3 карманами. Подставим значения в формулу:
\[
\frac{(10 + 3 - 1)!}{10!(3-1)!} = \frac{12!}{10!2!} = \frac{12 \times 11}{2} = 66
\]

Таким образом, существует 66 способов разложить 10 разных монет между 3 карманами.