7) Які відстані до площини мають кінці відрізка, який не перетинає площину і віддалений від неї на 3 см і 11 см, якщо

Buran_690

34

Давайте розглянемо кожну задачу по-окремості, почнемо з задачі номер 7.

7) В даній задачі нам потрібно знайти відстані до площини, які мають кінці відрізка, що не перетинає цю площину. За умовою, цей відрізок віддалений від площини на відстані 3 см і 11 см, а його проекція на площину дорівнює 15 см. Давайте позначимо відстані, які мають кінці відрізка, як \(x\) і \(y\).

Оскільки проекція відрізка на площину дорівнює 15 см, то ми можемо скористатись подібністю трикутників, тобто співвідношенням довжин відповідних сторін подібних трикутників. Коефіцієнт подібності буде рівним відношенню проекцій відповідних сторін:

\[\frac{x}{15} = \frac{y}{15}\]

Також, за умовою, відстань відрізка до площини складає 3 см і 11 см, тобто:

\[x + y = 3 \quad (1)\]
\[x + y = 11 \quad (2)\]

Нам потрібно вирішити цю систему рівнянь, щоб знайти значення \(x\) і \(y\).

Віднімемо рівняння (1) від рівняння (2):

\[(x + y) - (x + y) = 11 - 3\]
\[0 = 8\]

Отже, неможливо одночасно виконувати рівняння (1) і (2).

Це означає, що задача не має розв"язку. Відповідь: відстані до площини не існують, оскільки система рівнянь не має розв"язку.

Тепер перейдемо до задачі номер 8.

8) У цій задачі нам потрібно знайти відстань від точки до площини, якщо проведено дві похилі, довжини яких відносяться як 17:10, а їх проекції на площину дорівнюють 15 см і 6 см. Давайте позначимо відстань від точки до площини як \(x\).

Оскільки ми маємо дві похилі з відношенням довжин 17:10, то можемо позначити довжини цих похилих як \(17a\) і \(10a\), де \(a\) - це коефіцієнт пропорції.

Тепер ми можемо скористатись подібністю трикутників, так само, як у попередній задачі:

\[\frac{x}{15} = \frac{17a}{15} = \frac{10a}{6}\]

Для спрощення розрахунків можемо перемножити обидві частини рівняння на 6:

\[6x = 17a * \frac{6}{15} = 10a\]

Тепер можемо скоротити дроби та записати рівняння в такому вигляді:

\[6x = \frac{2}{5} * 10a\]

Скоротимо дріб та спростимо рівняння:

\[6x = \frac{2}{5} * 10a\]
\[6x = 4a\]
\[x = \frac{4a}{6}\]
\[x = \frac{2}{3}a\]

Отже, відстань від точки до площини дорівнює \( \frac{2}{3}a \). Ми знаємо, що проекція однієї з похилих дорівнює 15 см, тому можемо записати:

\( \frac{2}{3}a = 15\)

Тепер знайдемо значення \(a\):

\( a = \frac{15}{\frac{2}{3}} = \frac{15}{1} * \frac{3}{2} = 22.5 \)

Остаточно, підставляємо значення \(a\) в формулу для \(x\):

\( x = \frac{2}{3} * 22.5 = 15 \)

Таким чином, відстань від точки до площини дорівнює 15 см.

Тепер перейдемо до останньої задачі номер 9.

9) Завдання полягає у пошуку відстані від точки К до площини ABC. За умовою задачі, точка К знаходиться на відстані 4 см від кожної з вершин правильного трикутника ABC, а сторона трикутника дорівнює \(x\).

Давайте позначимо шукану відстань від точки К до площини як \(d\).

Оскільки точка К знаходиться на відстані 4 см від кожної з вершин трикутника, то ми можемо скористатись поняттям висоти трикутника. Висота трикутника - це відрізок, який перпендикулярний до основи трикутника і проходить через вершину. В даному випадку, точка К є вершиною, а основу трикутника складає відрізок між будь-якими двома вершинами трикутника, оскільки трикутник ABC є правильним.

Тому, відрізок, який з"єднує вершину трикутника та точку К, є висотою трикутника, а його довжина - шукаєма відстань \(d\).

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику \(rsk\) (прямокутний трикутник, що має катети, що дорівнюють 4 см) можемо записати:

\[r^2 + s^2 = k^2\]

Оскільки трикутник ABC є правильним трикутником, то його сторона дорівнює \(x\), тому можемо записати інше рівняння за теоремою Піфагора:

\[(\frac{x}{2})^2 + h^2 = x^2\]

Розкладемо \(x^2\) на \((\frac{x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^2\):

\[(\frac{x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^2 + h^2 = x^2\]
\[(\frac{x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^2 = x^2 - h^2\]
\[\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = x^2 - h^2\]
\[\frac{x^2}{2} = x^2 - h^2\]
\[\frac{x^2}{2} - x^2 + h^2 = 0\]
\[-\frac{x^2}{2} + h^2 = 0\]
\[h^2 - \frac{x^2}{2} = 0\]

Тепер розв"яжемо отримане рівняння відносно \(h\):

\[h^2 = \frac{x^2}{2}\]
\(h = \sqrt{\frac{x^2}{2}}\)
\(h = \frac{x}{\sqrt{2}} = \frac{x\sqrt{2}}{2}\)

Таким чином, шукана відстань \(d\) дорівнює довжині висоти трикутника, яка дорівнює \(\frac{x\sqrt{2}}{2}\).

Відповідь: відстань від точки К до площини ABC дорівнює \(\frac{x\sqrt{2}}{2}\).

Це були попередні задачі і докладні розбори кожної з них. Якщо у вас є інші запитання або потрібна допомога з іншими задачами, будь ласка, звертайтеся!