8.3. Какое значение импеданса участка цепи переменного тока с частотой y = 50 Гц, включающего параллельно
8.3. Какое значение импеданса участка цепи переменного тока с частотой y = 50 Гц, включающего параллельно два конденсатора емкостью c = 1 мкФ каждый?
8.4. Чему равно импедансу батареи, состоящей из двух конденсаторов с емкостью c = 2 мкФ, соединенных параллельно в цепь переменного тока частотой y = 50 Гц?
8.4. Чему равно импедансу батареи, состоящей из двух конденсаторов с емкостью c = 2 мкФ, соединенных параллельно в цепь переменного тока частотой y = 50 Гц?
Цветочек 22
Для решения задачи нам понадобятся две формулы, связывающие емкость конденсатора с импедансом:1. Формула импеданса \( Z_c = \frac{1}{j \omega C} \), где \( Z_c \) - импеданс конденсатора, \( j \) - мнимая единица, \( \omega \) - угловая частота переменного тока, \( C \) - емкость конденсатора.
2. Формула для параллельного соединения импедансов \( Z_{\text{пар}} = \frac{1}{\frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}} \), где \( Z_1 \) и \( Z_2 \) - импедансы, соединенные параллельно.
Если у нас есть два конденсатора ёмкостью \( C \), то их импедансы равны:
\( Z_1 = \frac{1}{j \omega C} \) и \( Z_2 = \frac{1}{j \omega C} \).
Для задачи 8.3. мы должны найти импеданс участка цепи, включающего параллельно два конденсатора емкостью \( c = 1 \, \mu \text{Ф} \) каждый. Подставим известные значения в формулу для параллельного соединения импедансов:
\[ Z_{\text{пар}} = \frac{1}{\frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}} \]
\[ Z_{\text{пар}} = \frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{j \omega C}} + \frac{1}{\frac{1}{j \omega C}}} \]
\[ Z_{\text{пар}} = \frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{j \omega \cdot 1 \, \mu \text{Ф}}} + \frac{1}{\frac{1}{j \omega \cdot 1 \, \mu \text{Ф}}}} \]
\[ Z_{\text{пар}} = \frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot 50 \, \text{Гц} \cdot 1 \, \mu \text{Ф}}} + \frac{1}{\frac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot 50 \, \text{Гц} \cdot 1 \, \mu \text{Ф}}}} \]
Упростим выражение:
\[ Z_{\text{пар}} = \frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot 50 \times 10^6 \, \text{Гц} \cdot 1 \times 10^{-6} \, \text{Ф}}} + \frac{1}{\frac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot 50 \times 10^6 \, \text{Гц} \cdot 1 \times 10^{-6} \, \text{Ф}}}} \]
\[ Z_{\text{пар}} = \frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot 50 \, \text{Гц} \cdot 1 \, \text{Ф}}} + \frac{1}{\frac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot 50 \, \text{Гц} \cdot 1 \, \text{Ф}}}} \]
\[ Z_{\text{пар}} = \frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot 50}}} \]
Переведем в комплексную форму и упростим:
\[ Z_{\text{пар}} = \frac{1}{\frac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot 50}} = -j \cdot 2 \pi \cdot 50 \]
Ответ: Импеданс участка цепи с двумя конденсаторами емкостью 1 мкФ каждый и частотой 50 Гц равен \(-j \cdot 2 \pi \cdot 50\) (он является комплексным числом).