8. Який об єм тіла утвориться при обертанні прямокутного трикутника із катетом 12см і гіпотенузою 13см навколо меншого

Светлячок_В_Траве

9

Задача 8:
Для нашої задачі, обернемо прямокутний трикутник навколо меншого катета. Щоб знайти об"єм тіла, утвореного цим обертанням, ми можемо скористатися формулою для об"єму циліндра, оскільки це тіло є циліндричною оболонкою навколо меншого катета.

Об"єм циліндра визначається формулою \( V = \pi r^2 h \), де \( r \) - радіус основи, а \( h \) - висота циліндра.

У нашому випадку основа циліндра є прямокутний трикутник, тому ми повинні знайти радіус основи циліндра та його висоту. Радіус основи циліндра дорівнює половині меншого катета, тобто \( r = \frac{12}{2} = 6 \) см.

Але висота циліндра, яку ми потребуємо для обчислення об"єму, ще невідома. Ми можемо використати теорему Піфагора, щоб знайти висоту циліндра.
За теоремою Піфагора \( c^2 = a^2 + b^2 \), де \( c \) - гіпотенуза, \( a \) і \( b \) - катети прямокутного трикутника.
Підставивши відомі значення, отримуємо \( 13^2 = 12^2 + b^2 \).
Розв"язавши це рівняння, ми отримуємо \( b = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \) см.

Тепер, коли ми знаємо висоту циліндра, ми можемо обчислити його об"єм:
\[ V = \pi r^2 h = \pi \cdot 6^2 \cdot 5 = 180\pi \]
Таким чином, об"єм тіла, яке утвориться при обертанні прямокутного трикутника навколо меншого катета, дорівнює \( 180\pi \) кубічних сантиметрів.

Щоб знайти площу бічної поверхні цього тіла, ми можемо використати формулу бічної поверхні циліндра \( S = 2\pi r h \), де \( r \) - радіус основи циліндра, а \( h \) - висота циліндра.
Підставивши відомі значення, отримуємо \( S = 2\pi \cdot 6 \cdot 5 = 60\pi \)
Таким чином, площа бічної поверхні цього тіла дорівнює \( 60\pi \) квадратних сантиметрів.

Задача 9:
Для вирішення цієї задачі спочатку знайдемо довжини катетів прямокутного трикутника відносно довжини бічного ребра.

Нехай довжина одного катета буде \( x \). Тоді другий катет буде \( 2x \), а гіпотенуза буде \( 3x \).
Застосовуючи формулу Піфагора, отримуємо \( (2x)^2 + x^2 = (3x)^2 \).
Розв"язавши це рівняння, ми отримуємо \( 4x^2 + x^2 = 9x^2 \),
що дає \( 5x^2 = 9x^2 \),
та \( 4x^2 = 0 \).

Звідси ми отримуємо, що \( x = 0 \) або \( x \to \infty \). Проте такого випадку не існує, тому ми приходимо до суперечності.
Отже, у цієї задачі розв"язку не існує.

Задача 10:
Щоб знайти об"єм тіла, яке утвориться при обертанні трикутника навколо його найбільшої сторони, ми можемо скористатися формулою об"єму конуса, оскільки об"єкт, який утворюється, є конусом.

Об"єм конуса визначається формулою \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), де \( r \) - радіус основи конуса, \( h \) - висота конуса.

У нашому випадку, найбільша сторона трикутника становить 21 см, тому радіус основи конуса буде половину цієї сторони, тобто \( r = \frac{21}{2} = 10.5 \) см.

Але нам також потрібно знайти висоту конуса. Для цього ми можемо використовувати теорему Піфагора, оскільки трикутник є прямокутним.
Застосовуючи формулу Піфагора, отримуємо \( a^2 + b^2 = c^2 \), де \( a \), \( b \), і \( c \) - сторони трикутника.

Підставивши відомі значення, отримуємо \( 10^2 + 17^2 = c^2 \).
Розв"язавши це рівняння, ми отримуємо \( 100 + 289 = c^2 \),
що дає \( 389 = c^2 \).
Тому \( c = \sqrt{389} \approx 19.72 \) см.

Це значення є висотою конуса. Тепер ми можемо обчислити об"єм, використовуючи формулу об"єму конуса:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 10.5^2 \cdot 19.72 \approx 678.68 \]

Таким чином, об"єм тіла, яке утвориться при обертанні трикутника навколо його найбільшої сторони, становить приблизно 678.68 кубічних сантиметрів.