a) Докажите, что средние линии треугольников MAD и MBC параллельны. b) Сторона AB параллелограмма ABCD имеет длину
a) Докажите, что средние линии треугольников MAD и MBC параллельны.
b) Сторона AB параллелограмма ABCD имеет длину 5 см. Высота, опущенная из вершины параллелограмма на сторону AD, равна 4 см и делит эту сторону пополам. Найдите параллельные линии треугольников MAD и MBC. Пункт а) с доказательством.
b) Сторона AB параллелограмма ABCD имеет длину 5 см. Высота, опущенная из вершины параллелограмма на сторону AD, равна 4 см и делит эту сторону пополам. Найдите параллельные линии треугольников MAD и MBC. Пункт а) с доказательством.
Яксоб 57
Чтобы доказать, что средние линии треугольников MAD и MBC параллельны, мы воспользуемся свойством медиан треугольника.Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Предположим, что точка P - середина стороны AD треугольника MAD, а точка Q - середина стороны BC треугольника MBC.
1. Докажем, что MP параллельно стороне BC:
- Рассмотрим треугольник MBC. Так как P - середина стороны AD, то AP = PD, в силу свойства серединного перпендикуляра.
- Рассмотрим также треугольник PMB. Из того, что точка P - середина стороны AD, следует, что MP = PD/2.
- Таким образом, у нас есть два равенства: AP = PD и MP = PD/2.
- Из этих равенств можно заключить, что треугольник AMP подобен треугольнику DPC по стороне-стороне.
- Из подобия треугольников следует, что угол AMP равен углу DPC.
- Но поскольку угол DPC является вертикальным углом к углу MBC, то угол AMP также является вертикальным углом к углу MBC.
- По свойству вертикальных углов можно заключить, что угол MBC равен углу AMP.
- Поскольку сторона MP противолежит углу MBC и параллельна стороне BC, следовательно, MP параллельна BC.
2. Докажем, что AQ параллельно стороне AD:
- Рассмотрим треугольник MAD. Так как Q - середина стороны BC, то BQ = QC, в силу свойства серединного перпендикуляра.
- Рассмотрим также треугольник MAQ. Из того, что точка Q - середина стороны BC, следует, что AQ = QC/2.
- Таким образом, у нас есть два равенства: BQ = QC и AQ = QC/2.
- Из этих равенств можно заключить, что треугольник BAQ подобен треугольнику CQD по стороне-стороне.
- Из подобия треугольников следует, что угол BAQ равен углу CQD.
- Но поскольку угол CQD является вертикальным углом к углу MAD, то угол BAQ также является вертикальным углом к углу MAD.
- По свойству вертикальных углов можно заключить, что угол MAD равен углу BAQ.
- Поскольку сторона AQ противолежит углу MAD и параллельна стороне AD, следовательно, AQ параллельна AD.
Таким образом, средние линии треугольников MAD и MBC параллельны, так как мы доказали, что MP || BC и AQ || AD, используя свойства медиан треугольника и подобные треугольники.