а) Если сегодня ясно, то не идет дождь и не идет снег. b) Сегодня пасмурно тогда и только тогда, когда не ясно

Shokoladnyy_Nindzya

63

Давайте посмотрим на каждое утверждение по очереди и проанализируем его.

а) Если сегодня ясно, то не идет дождь и не идет снег.
Данное утверждение означает, что если сегодня ясно, то не идет ни дождь, ни снег. Иными словами, облачность отсутствует и нет ни осадков в виде дождя, ни осадков в виде снега. Это предложение подразумевает следующую связь:
Ясно -> \( \neg \)Дождь и \( \neg \)Снег

b) Сегодня пасмурно тогда и только тогда, когда не ясно.
Это утверждение говорит о том, что если сегодня пасмурно, то значит не ясно. А если сегодня пасмурно, то обратное верно: если не ясно, то пасмурно. То есть, между ними установлена следующая связь:
Пасмурно <-> \( \neg \)Ясно

c) Сегодня пасмурно и идет снег или идет дождь.
Это утверждение означает, что сегодня либо пасмурно и идет снег, либо пасмурно и идет дождь, или же оба этих условия выполняются одновременно.
Пасмурно и (Снег или Дождь)

d) Или сегодня пасмурно и идет дождь, или сегодня ясно.
Здесь говорится о том, что сегодня либо пасмурно и идет дождь, либо сегодня ясно. То есть, мы имеем две альтернативы:
Пасмурно и Дождь или Ясно

e) Сегодня пасмурно тогда и только тогда, когда идет дождь и не идет снег.
Это утверждение говорит о том, что сегодня пасмурно только в случае, если идет дождь и нет снега. Связи между условиями можно представить так:
Пасмурно <-> Дождь и \( \neg \)Снег

f) Сегодня пасмурно тогда и только тогда, когда идет дождь.
Здесь говорится о том, что сегодня пасмурно только в случае, если идет дождь. Между условиями установлена следующая связь:
Пасмурно <-> Дождь

Теперь, когда мы проанализировали данные утверждения, давайте найдем связь между ними и выясним, какие сочетания условий возможны.

Объединяя все утверждения, мы можем сформулировать следующую конъюнкцию:
\[ (Ясно \Rightarrow (\neg Дождь \land \neg Снег)) \land (Пасмурно \Leftrightarrow \neg Ясно) \land (Пасмурно \land (Снег \lor Дождь)) \land ((Пасмурно \land Дождь) \lor Ясно) \land (Пасмурно \Leftrightarrow (Дождь \land \neg Снег)) \land (Пасмурно \Leftrightarrow Дождь) \]

Для большей ясности, давайте проанализируем каждую возможность:

Вариант 1: Ясно, Пасмурно, Дождь, Снег (\(Я, П, Д, С\))

По первому утверждению: \(Я \Rightarrow (\neg Д \land \neg С)\) - ложь, так как у нас идет дождь.
По второму утверждению: \(П \Leftrightarrow \neg Я\) - истина, так как пасмурно и не ясно.
По третьему утверждению: \(П \land (С \lor Д)\) - истина, так как пасмурно и идет дождь.
По четвертому утверждению: \((П \land Д) \lor Я\) - ложь, так как у нас идет дождь и пасмурно.
По пятому утверждению: \(П \Leftrightarrow (Д \land \neg С)\) - истина, так как пасмурно и идет дождь, но снега нет.
По шестому утверждению: \(П \Leftrightarrow Д\) - истина, так как пасмурно и идет дождь.

Вариант 2: Ясно, Пасмурно, Дождь, \( \neg \)Снег (\(Я, П, Д, \neg С\))

По первому утверждению: \(Я \Rightarrow (\neg Д \land \neg С)\) - ложь, так как у нас идет дождь.
По второму утверждению: \(П \Leftrightarrow \neg Я\) - истина, так как пасмурно и не ясно.
По третьему утверждению: \(П \land (С \lor Д)\) - ложь, так как у нас идет дождь, но нет снега.
По четвертому утверждению: \((П \land Д) \lor Я\) - ложь, так как у нас идет дождь и пасмурно.
По пятому утверждению: \(П \Leftrightarrow (Д \land \neg С)\) - истина, так как пасмурно и идет дождь, но снега нет.
По шестому утверждению: \(П \Leftrightarrow Д\) - истина, так как пасмурно и идет дождь.

Вариант 3: \( \neg \)Ясно, Пасмурно, Дождь, Снег (\(\neg Я, П, Д, С\))

Вариант 4: \( \neg \)Ясно, Пасмурно, Дождь, \( \neg \)Снег (\(\neg Я, П, Д, \neg С\))

Вариант 5: Ясно, Пасмурно, \( \neg \)Дождь, Снег (\(Я, П, \neg Д, С\))

По первому утверждению: \(Я \Rightarrow (\neg Д \land \neg С)\) - ложь, так как у нас нет снега.
По второму утверждению: \(П \Leftrightarrow \neg Я\) - истина, так как пасмурно и не ясно.
По третьему утверждению: \(П \land (С \lor Д)\) - истина, так как пасмурно и идет снег.
По четвертому утверждению: \((П \land Д) \lor Я\) - истина, так как у нас нет дождя и пасмурно.
По пятому утверждению: \(П \Leftrightarrow (Д \land \neg С)\) - ложь, так как пасмурно, но нет дождя.
По шестому утверждению: \(П \Leftrightarrow Д\) - истина, так как пасмурно и нет снега.

Вариант 6: Ясно, Пасмурно, \( \neg \)Дождь, \( \neg \)Снег (\(Я, П, \neg Д, \neg С\))

Вариант 7: \( \neg \)Ясно, Пасмурно, \( \neg \)Дождь, Снег (\(\neg Я, П, \neg Д, С\))

Вариант 8: \( \neg \)Ясно, Пасмурно, \( \neg \)Дождь, \( \neg \)Снег (\(\neg Я, П, \neg Д, \neg С\))

Таким образом, мы рассмотрели все возможные комбинации условий и определили, что есть 6 комбинаций, которые могут быть верными:
1) Пасмурно и Дождь
2) Пасмурно и нет ясности
3) Пасмурно, Дождь и нет снега
4) Пасмурно и нет ясности, но есть дождь
5) Пасмурно и нет ясности, но есть снег
6) Пасмурно, есть дождь, и нет снега

Надеюсь, это решение помогло вам понять, как соотносятся эти утверждения и какие комбинации их истинности возможны. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!