а) Если в четырёхугольнике все углы равны, то это необходимое и достаточное условие для того, чтобы четырёхугольник

Sladkiy_Pirat

49

а)

Чтобы понять, является ли четырёхугольник прямоугольником, необходимо разобраться в его основных свойствах. Прямоугольник - это четырёхугольник, у которого все углы равны 90 градусам. Давайте проверим, является ли равенство всех углов необходимым и достаточным условием для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником.

1. Необходимость условия:
Для начала, давайте предположим, что все углы в четырёхугольнике равны между собой. По определению прямоугольника, каждый угол должен быть 90 градусов. То есть, если все углы равны между собой, это говорит о том, что каждый угол является прямым. Следовательно, это необходимое условие для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником.

2. Достаточность условия:
Для того, чтобы доказать, что равенство всех углов является достаточным условием, нужно показать, что все четыре угла четырёхугольника будут прямыми.
Можно использовать следующее рассуждение:
- Пусть угол А равен углу В, а угол В равен углу С, и т.д.
- Тогда угол А также равен углу С, а угол А также равен углу D.
- Из этого следует, что все четыре угла четырехугольника равны между собой.
- Так как все углы равны, значит они равны 90 градусам и четырехугольник является прямоугольником.

Таким образом, равенство всех углов является необходимым и достаточным условием для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником.

б)

Для того чтобы сумма двух чисел была чётной, необходимо и достаточно, чтобы оба числа были чётными.

Давайте рассмотрим две ситуации:

1. Сумма двух четных чисел:
Пусть \(a\) и \(b\) - четные числа.
Четное число можно представить в виде \(2n\), где \(n\) - целое число.
Тогда сумма двух четных чисел будет:
\[a + b = (2n) + (2m) = 2(n + m)\]
где \(n + m\) также является целым числом. Значит, сумма двух четных чисел будет также четной.

2. Сумма четного и нечетного чисел:
Пусть \(a\) - четное число, а \(b\) - нечетное число.
Четное число можно представить в виде \(2n\), где \(n\) - целое число, а нечетное - в виде \(2m + 1\), где \(m\) - целое число.
Тогда сумма двух таких чисел будет:
\[a + b = (2n) + (2m+1) = 2(n+m) + 1\]
Здесь мы видим, что второе слагаемое \(2(n+m) + 1\) имеет остаток при делении на 2, следовательно, сумма двух чисел - нечетная.

Таким образом, для того чтобы сумма двух чисел была чётной, необходимо и достаточно, чтобы оба числа были чётными.

в)

Число, которое делится на 3 и на 5, является необходимым и достаточным условием для его делимости на 15.

Два целых числа \(a\) и \(b\) являются делимыми на третье число \(c\) (не равное нулю), если и только если их сумма \(a + b\) также делится на \(c\).

Докажем данное утверждение:

1. Рассмотрим число \(x\) такое, что оно делится на 3 и на 5. Обозначим его как \(x = 3k_1 = 5k_2\), где \(k_1\) и \(k_2\) - целые числа.

2. Докажем, что \(x\) также делится на 15. Обозначим его как \(x = 15k_3\).

3. Для этого, разделим числа \(k_1\) и \(k_2\) на 5 и 3 соответственно (если это возможно без остатка), получим \(k_1 = 5m\) и \(k_2 = 3n\), где \(m\) и \(n\) - целые числа.

4. Подставим полученные значения в \(x = 3k_1 = 5k_2\):
\[x = 3(5m) = 5(3n) = 15mn = 15k_3\]

Таким образом, мы видим, что число, которое делится на 3 и на 5, также делится на 15.

Следовательно, число, которое делится на 3 и на 5, является необходимым и достаточным условием для его делимости на 15.