а) Используя тригонометрические тождества, решите уравнение: cos(x+2π)=sin(x-3π) б) Найдите все значения
а) Используя тригонометрические тождества, решите уравнение: cos(x+2π)=sin(x-3π)
б) Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению, и принадлежащие интервалу [-π;π/2]. Я решила уравнение и получила значения π/4+πk. Однако, мне не совсем ясно, как правильно выбрать корень здесь.
б) Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению, и принадлежащие интервалу [-π;π/2]. Я решила уравнение и получила значения π/4+πk. Однако, мне не совсем ясно, как правильно выбрать корень здесь.
Oblako 39
Для начала, давайте рассмотрим уравнение \( \cos(x + 2\pi) = \sin(x - 3\pi) \). Мы можем использовать тригонометрические тождества для переписывания этого уравнения:\[ \cos(x + 2\pi) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + (x - 3\pi)\right) \]
Используя тригонометрическое тождество \( \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \), мы можем раскрыть правую сторону уравнения:
\[ \cos(x + 2\pi) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos(x - 3\pi) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin(x - 3\pi) \]
Суммируя это, мы получаем:
\[ \cos(x + 2\pi) = \sin(x - 3\pi) \]
\[ 0 = \frac{\pi}{2}\cos(x - 3\pi) + \frac{\pi}{2}\sin(x - 3\pi) \]
Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество \( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \) для продолжения раскрытия:
\[ 0 = \frac{\pi}{2}\cos(x - 3\pi) + \frac{\pi}{2}\sin(x - 3\pi) \]
\[ 0 = \sin\left(\frac{\pi}{2} - (x - 3\pi)\right) \]
Теперь у нас есть \(\sin\) от некоторого значения. Зная, что \(\sin\) равен нулю при аргументе \(\pi n\) в общем случае, мы можем решить уравнение:
\[ \frac{\pi}{2} - (x - 3\pi) = \pi n \]
Раскрывая скобки, мы получаем:
\[ \frac{\pi}{2} - x + 3\pi = \pi n \]
\[ -x + \frac{7\pi}{2} = \pi n \]
Теперь мы можем выразить \(x\):
\[ x = \frac{7\pi}{2} - \pi n \]
Для второй части вашего вопроса, мы должны найти все значения \(x\) из интервала \([- \pi; \frac{\pi}{2}]\), которые удовлетворяют уравнению. Сначала давайте найдем все значения \(n\) для которых \(\frac{7\pi}{2} - \pi n\) находится в заданном интервале.
\[ - \pi \leq \frac{7\pi}{2} - \pi n \leq \frac{\pi}{2} \]
Из этого неравенства можно получить:
\[ - \pi n \leq - \frac{7\pi}{2} \]
\[ \pi n \geq \frac{7\pi}{2} \]
Деление на \(\pi\) дает нам:
\[ n \geq \frac{7}{2} \]
Теперь мы знаем, что \(n\) должно быть больше или равно \(\frac{7}{2}\). Теперь давайте найдем все соответствующие значения \(x\) для таких \(n\):
\[ x = \frac{7\pi}{2} - \pi n \]
\[ x = \frac{7\pi}{2} - \pi \left(\frac{7}{2} + k\right) \]
\[ x = \frac{7\pi}{2} - \frac{7\pi}{2} - \pi k \]
\[ x = - \pi k \]
Таким образом, все значения \(x\), удовлетворяющие исходному уравнению и принадлежащие интервалу \([- \pi; \frac{\pi}{2}]\), могут быть записаны в виде \(x = - \pi k\), где \(k\) - неотрицательное целое число.