А) Как найти решение уравнения 25cos^2*x+24cos*x/24tgx−7=0? б) Как найти корни на интервале [−13π/2;−5π]?

Skvoz_Podzemelya

9

Хорошо, давайте начнем с уравнения \(25\cos^2(x) + \frac{24\cos(x)}{24\tan(x)} - 7 = 0\).

Для начала, избавимся от дроби в уравнении, умножив обе части на \(24\tan(x)\):

\[25\cos^2(x)\cdot 24\tan(x) + 24\cos(x) - 7\cdot 24\tan(x) = 0\]

Теперь упростим уравнение:

\[25\cos^2(x)\cdot 24\tan(x) + 24\cos(x) - 168\tan(x) = 0\]

Факторизуем общий множитель:

\[(25\cos^2(x) - 168)\tan(x) + 24\cos(x) = 0\]

Разделим оба слагаемых на \(\cos(x)\):

\[(25\cos(x) - 168\cos(x)\tan(x)) + 24 = 0\]

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\):

\[25\cos(x) - 168\sin(x) + 24 = 0\]

Это уравнение является тригонометрическим уравнением. Решим его на интервале \([−13\pi/2;−5\pi]\).

Для начала найдем решение на отрезке \([-13\pi/2; -\pi/2]\). В этом диапазоне угол \(x\) лежит между \(-13\pi/2\) и \(-\pi/2\).

Из уравнения \(25\cos(x) - 168\sin(x) + 24 = 0\) выразим \(\sin(x)\):

\(\sin(x) = \frac{25\cos(x) + 24}{168}\)

Заменим \(\sin(x)\) в уравнении и проведем дальнейшие вычисления:

\(25\cos(x) - 168\left(\frac{25\cos(x) + 24}{168}\right) + 24 = 0\)

\(25\cos(x) - 25\cos(x) -24 + 24 = 0\)

Упрощая, получаем:

\(0 = 0\)

Итак, внутри интервала \([-13\pi/2; -\pi/2]\) уравнение имеет множество решений, так как уравнение тождественно верно.

Теперь рассмотрим отрезок \([-3\pi/2; -\pi]\). В этом диапазоне угол \(x\) лежит между \(-3\pi/2\) и \(-\pi\).

Повторим те же шаги, что и в предыдущем случае:

\(\sin(x) = \frac{25\cos(x) + 24}{168}\)

\(25\cos(x) - 168\left(\frac{25\cos(x) + 24}{168}\right) + 24 = 0\)

\(25\cos(x) - 25\cos(x) -24 + 24 = 0\)

Упрощая, получаем:

\(0 = 0\)

И снова уравнение тождественно верно внутри интервала \([-3\pi/2; -\pi]\), что означает, что на данном интервале уравнение имеет бесконечное множество решений.

Таким образом, уравнение \(25\cos^2(x) + \frac{24\cos(x)}{24\tan(x)} - 7 = 0\) не имеет конкретных решений на интервале \([−13\pi/2;−5\pi]\), так как оно является тождественно верным на обоих рассмотренных отрезках.

Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас возникнут дополнительные вопросы!