а) Какие координаты имеет вершина параболы, заданной функцией y = -x² + 4x - 3? b) Что представляет собой ось симметрии

Moroz

41

a) Для того чтобы найти координаты вершины параболы, нам нужно знать формулу для вершины параболы. Для параболы, заданной функцией вида \(y = ax^2 + bx + c\), координаты вершины вычисляются по формулам:

\[x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a}\]
\[y_{\text{вершины}} = -\frac{D}{4a}\]

где \(D\) - дискриминант параболы, равный \(D = b^2 - 4ac\).

Данная парабола задана функцией \(y = -x^2 + 4x - 3\), поэтому \(a = -1\), \(b = 4\) и \(c = -3\). Дискриминант будет равен:

\[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-1)(-3) = 16 - 12 = 4\]

Теперь мы можем вычислить координаты вершины:

\[x_{\text{вершины}} = -\frac{4}{2(-1)} = -2\]
\[y_{\text{вершины}} = -\frac{4}{4(-1)} = -1\]

Таким образом, координаты вершины параболы равны \((-2, -1)\).

b) Ось симметрии параболы проходит через ее вершину и является вертикальной линией, перпендикулярной оси \(y\). В данном случае, ось симметрии будет проходить через точку \((-2, -1)\).

c) Для того чтобы найти точки пересечения параболы с осями координат, мы должны приравнять \(y\) к нулю и решить уравнение:

\[y = -x^2 + 4x - 3 = 0\]

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного корня. Однако, давайте воспользуемся квадратным корнем. Для использования этого метода, давайте приведем уравнение к стандартному виду \(ax^2 + bx + c = 0\).

\[y = -x^2 + 4x - 3 = 0\]
\[x^2 - 4x + 3 = 0\]

Теперь мы можем решить это уравнение с помощью квадратного корня:

\[x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}\]
\[x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}\]
\[x = \frac{4 \pm 2}{2}\]
\[x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3\]
\[x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1\]

Таким образом, график функции \(y = -x^2 + 4x - 3\) пересекает ось \(x\) в точках \((3, 0)\) и \((1, 0)\).

d) Чтобы построить график функции \(y = -x^2 + 4x - 3\), нам следует использовать полученные нами координаты вершины и точки пересечения с осями координат.

Используя координаты вершины \((-2, -1)\), мы можем построить точку на графике. Затем, используя точки пересечения \((3, 0)\) и \((1, 0)\), мы можем провести наклонные линии, чтобы сформировать параболу.

e) График функции \(y = -x^2 + 4x - 3\) находится в трех четвертях. Чтобы определить это, мы можем использовать значения \(x\) в функции и проверить знак полученных значений \(y\).

Для \(x < 0\), график функции будет находиться в II четверти, так как при \(x = -1\), мы получаем \(y = 0 - 4 + 3 = -1\).

Для \(x > 0\), график функции будет находиться в I четверти, так как при \(x = 1\), мы получаем \(y = -1 + 4 - 3 = 0\).

В II и I четвертях значения \(y\) неотрицательны.

Для \(x = 0\), график функции будет пересекать ось \(y\) в точке \((0, -3)\). Таким образом, \((0, -3)\) будет находиться в III четверти.

Итак, график функции \(y = -x^2 + 4x - 3\) находится во II, I и III четвертях.