а) Какие пары чисел (х; у) удовлетворяют уравнению 4х^2 - 81y^2 = 0? б) Какие пары чисел (х; у) удовлетворяют уравнению

Тарас

64

а) Для решения уравнения \(4x^2 - 81y^2 = 0\) нам нужно найти все пары чисел \((x, y)\), которые удовлетворяют данному уравнению. Для начала, давайте перепишем уравнение в виде:

\[4x^2 = 81y^2\]

Теперь, возведя обе части уравнения в квадрат, получим:

\[(2x)^2 = (9y)^2\]

Таким образом, мы можем представить, что \(2x = 9y\) или \(-2x = 9y\). Решим эти два уравнения по очереди:

1. \(2x = 9y\)
Делим обе части уравнения на 9:
\(\frac{2x}{9} = y\)
Заметим, что здесь \(y\) выражено через \(x\). Мы можем выбирать любое значение \(x\), и соответствующее значение \(y\) будет \(\frac{2x}{9}\). Таким образом, все пары чисел, удовлетворяющие данному уравнению, будут вида \((x, \frac{2x}{9})\), где \(x\) может быть любым числом.

2. \(-2x = 9y\)
Опять делим обе части на 9:
\(\frac{-2x}{9} = y\)
Здесь мы также можем выбирать любое значение \(x\), и соответствующее значение \(y\) будет \(\frac{-2x}{9}\). Таким образом, все пары чисел, удовлетворяющие данному уравнению, будут вида \((x, \frac{-2x}{9})\), где \(x\) также может быть любым числом.

Итак, для уравнения \(4x^2 - 81y^2 = 0\) все пары чисел \((x, y)\), удовлетворяющие ему, будут вида \((x, \frac{2x}{9})\) и \((x, \frac{-2x}{9})\), где \(x\) может быть любым числом.

б) Для решения уравнения \(x^2 + 2xy + y^2 = 0\) используем метод декомпозиции квадратного трехчлена.

Перепишем уравнение как:

\((x+y)^2 = 0\)

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей:

\(x+y = 0\)

Таким образом, для уравнения \(x^2 + 2xy + y^2 = 0\) все пары чисел \((x, y)\), удовлетворяющие ему, будут вида \((x, -x)\), где \(x\) может быть любым числом.

в) Для решения уравнения \(xy + 20 = 5x + 4y\) проведем необходимые преобразования.

Перепишем уравнение в виде:

\(xy - 5x - 4y + 20 = 0\)

Факторизуем по методу «группировки»:

\((xy - 5x) - (4y - 20) = 0\)

Перепишем первые два члена и последние два члена уравнения:

\(x(y - 5) - 4(y - 5) = 0\)

Заметим, что оба члена уравнения имеют общий множитель \((y - 5)\), поэтому можно провести сокращение:

\((x - 4)(y - 5) = 0\)

Теперь получаем два уравнения:

1. \(x - 4 = 0\)
Решение данного уравнения: \(x = 4\)

2. \(y - 5 = 0\)
Решение данного уравнения: \(y = 5\)

Таким образом, пара чисел \((x, y)\), удовлетворяющая уравнению \(xy + 20 = 5x + 4y\), будет \((4, 5)\).

г) Для решения уравнения \(x\sqrt{y} - 3 = x - 3\sqrt{y}\) проведем необходимые преобразования.

Перепишем уравнение в виде:

\(x\sqrt{y} - x = 3\sqrt{y} - 3\)

Вынесем общий множитель слева:

\(x(\sqrt{y} - 1) = 3(\sqrt{y} - 1)\)

Теперь мы можем сократить общий множитель \((\sqrt{y} - 1)\):

\(x = 3\)

Таким образом, для уравнения \(x\sqrt{y} - 3 = x - 3\sqrt{y}\) все пары чисел \((x, y)\), удовлетворяющие ему, будут вида \((3, y)\), где \(y\) может быть любым числом.