Какова площадь области, заключенной между графиком функции f(x)=4−0,3x2, касательной в точке с координатой x=-2

Zagadochnyy_Les

19

Хорошо! Для решения этой задачи, нам необходимо определить точки пересечения графика функции \(f(x)=4-0.3x^2\) и прямой \(x=1\). Далее мы найдем точку, где касательная функции проходит через график, для которой значение \(x=-2\). Затем мы рассчитаем площадь между этими двумя точками.

Для начала, найдем точку пересечения графика функции \(f(x)\) и прямой \(x=1\). Подставив \(x=1\) в уравнение функции, получим следующее:

\[f(1)=4-0.3(1)^2=4-0.3=3.7.\]

Таким образом, точка пересечения имеет координаты \((1, 3.7)\).

Далее, для того чтобы найти уравнение касательной к функции \(f(x)\) в точке \((x_0, f(x_0))\) мы воспользуемся производной функции. Дифференцируя функцию \(f(x)\), получим:

\[f"(x)=-0.6x.\]

Подставив \(x=-2\) в \(f"(x)\), получим:

\[f"(-2)=-0.6(-2)=1.2.\]

Таким образом, коэффициент наклона касательной равен 1.2.

Теперь у нас есть точка \((-2, f(-2))\) и угловой коэффициент касательной в этой точке \((1.2)\). Используя эти данные, мы можем составить уравнение касательной. Рассмотрим точку \((-2, f(-2))\). Уравнение прямой имеет вид:

\[y-y_1=m(x-x_1),\]

где \((x_1, y_1)\) - координаты точки на прямой, а \(m\) - коэффициент наклона прямой (в нашем случае 1.2). Подставляя значения, получим:

\[y-f(-2)=1.2(x-(-2)).\]

Упростим это уравнение:

\[y-4+0.3\cdot2=1.2x+2.4.\]

\[y-4+0.6=1.2x+2.4.\]

\[y=1.2x+5.\]

Теперь мы можем найти точки пересечения графика функции \(f(x)\) и касательной. В системе уравнений \(y=f(x)\) и \(y=1.2x+5\), подставим уравнение функции:

\[4-0.3x^2=1.2x+5.\]

Приведем это уравнение к квадратному виду:

\[0.3x^2+1.2x+1=0.\]

Решим его, используя квадратное уравнение. Получим два значения:

\[x_1=-2,\]

\[x_2=-0.5.\]

Таким образом, точки пересечения имеют координаты \((-2, f(-2))\) и \((-0.5, f(-0.5))\).

Теперь мы можем найти площадь между графиком функции \(f(x)\), касательной и прямой \(x=1\). Мы можем найти площадь используя интеграл функции \(f(x)-1.2x-5\) от точки \(-2\) до точки \(-0.5\):

\[\int_{-2}^{-0.5}(4-0.3x^2-1.2x-5)\,dx.\]

Упростим это выражение:

\[\int_{-2}^{-0.5}(-0.3x^2-1.2x-1)\,dx.\]

Вычислив этот интеграл, получим окончательный ответ:

\[-2.3.\]

Таким образом, площадь области, заключенной между графиком функции \(f(x)=4-0.3x^2\), касательной в точке с координатой \(x=-2\) и прямой \(x=1\), равна \(-2.3\).