а) Какие значения x удовлетворяют неравенству 3х^2-2х-5 > 0? б) Какие значения x удовлетворяют неравенству х^2 + 6х

Solnce

35

Рад помочь вам с решением этих неравенств. Давайте решим каждую задачу по очереди:

а) Начнем с неравенства \(3x^2 - 2x - 5 > 0\). Для решения этой задачи, мы должны найти значения \(x\), при которых неравенство выполняется, то есть значения, для которых левая часть больше нуля.

Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения \(3x^2 - 2x - 5 = 0\).
По формуле дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения, в данном случае \(a = 3\), \(b = -2\) и \(c = -5\).
Вычислим дискриминант:
\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64.\]
Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.

Шаг 2: Найдем корни уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]
Подставим значения коэффициентов и вычислим корни:
\[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}.\]
\[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 8}{6} = \frac{-6}{6} = -1.\]

Шаг 3: Построим таблицу знаков, чтобы понять, при каких значениях \(x\) неравенство выполняется:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & -\infty & -1 & \frac{5}{3} & +\infty \\
\hline
3x^2 - 2x - 5 & - & + & - & + \\
\hline
\end{array}
\]

Неравенство \(3x^2 - 2x - 5 > 0\) выполняется при \(x < -1\) и \(x > \frac{5}{3}\). То есть, значения \(x\), удовлетворяющие неравенству, лежат в интервале \(-\infty < x < -1\) или \(x > \frac{5}{3}\).

б) Перейдем к решению неравенства \(x^2 + 6x + 9 < 0\). Чтобы неравенство выполнялось, левая часть должна быть меньше нуля.

Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 6x + 9 = 0\).
Мы заметим, что это квадрат полного квадрата, и его факторизация будет следующей: \((x + 3)^2 = 0\).
Отсюда следует, что значение \(x\) должно быть равно \(-3\), чтобы левая часть равнялась нулю. Корень \(-3\) имеет кратность 2.

Шаг 2: Построим таблицу знаков, чтобы понять, при каких значениях \(x\) неравенство выполняется:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & -\infty & -3 & +\infty \\
\hline
x^2 + 6x + 9 & + & 0 & + \\
\hline
\end{array}
\]

Неравенство \(x^2 + 6x + 9 < 0\) не имеет решений в вещественных числах, так как левая часть всегда положительна или равна нулю.

в) Перейдем к решению неравенства \(-x^2 + 6x < 5\). Здесь мы выведем \(x\) на одну сторону и приведем неравенство к более простому виду.

Шаг 1: Приравняем неравенство к нулю: \(-x^2 + 6x - 5 < 0\). Теперь мы должны найти значения \(x\), при которых неравенство выполняется, то есть значения, для которых левая часть меньше нуля.

Шаг 2: Построим таблицу знаков, чтобы понять, при каких значениях \(x\) неравенство выполняется:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & -\infty & x_1 & x_2 & +\infty \\
\hline
-x^2 + 6x - 5 & - & + & - & + \\
\hline
\end{array}
\]

Неравенство \(-x^2 + 6x - 5 < 0\) выполняется при \(x_1 < x < x_2\). То есть, значения \(x\), удовлетворяющие неравенству, лежат в интервале \(x_1 < x < x_2\).

Надеюсь, ответы на задачи были понятны и полезны для вас. Если у вас возникают еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь вам.