У якій послідовність (bn) є геометричною прогресією зі сталим знаменником q=2, a п ятий член рівний 3. Скільки перших

Дружок_7327

45

Щоб розв"язати цю задачу, спочатку знайдемо перший член послідовності (b₁) за допомогою формули для геометричної прогресії:

\[b₁ = \frac{{b₅}}{{q⁴}}\]

Відомо, що п"ятий член рівний 3, тому:

\[3 = \frac{{b₅}}{{2⁴}}\]

Знайдемо b₅, помноживши обидві частини рівняння на \(2^4\):

\[3 \cdot 2⁴ = b₅\]

\[48 = b₅\]

Отже, перший член геометричної прогресії дорівнює 48.

Далі, нам потрібно знайти кількість перших членів (n), щоб їхня сума дорівнювала 5 цілих 13/16-ти. Щоб це зробити, скористаємося формулою для суми перших n членів геометричної прогресії:

\[Sₙ = \frac{{b₁(qⁿ - 1)}}{{q - 1}}\]

Підставимо відомі значення в цю формулу:

\[5 \frac{{13}}{{16}} = \frac{{48(2ⁿ - 1)}}{{2 - 1}}\]

Переведемо дробову суму 5 13/16 у нескорочену десяткову форму. Для цього помножимо 16 з 5 і додамо 13:

\[5 \frac{{13}}{{16}} = \frac{{(5 \cdot 16) + 13}}{{16}} = \frac{{93}}{{16}}\]

Підставимо це значення в рівняння:

\[\frac{{93}}{{16}} = \frac{{48(2ⁿ - 1)}}{{1}}\]

Скоротимо формулу, враховуючи, що q - 1 дорівнює 1:

\[\frac{{93}}{{16}} = 48(2ⁿ - 1)\]

Розпакуємо дужки:

\[\frac{{93}}{{16}} = 48 \cdot 2ⁿ - 48\]

Приберемо 48 з обох боків рівняння:

\[\frac{{93}}{{16}} + 48 = 48 \cdot 2ⁿ\]

Знайдемо суму:

\[\frac{{93}}{{16}} + \frac{{768}}{{16}} = 48 \cdot 2ⁿ\]

\[\frac{{861}}{{16}} = 48 \cdot 2ⁿ\]

Поділимо обидві частини на 48:

\[\frac{{861}}{{16 \cdot 48}} = 2ⁿ\]

\[\frac{{861}}{{768}} = 2ⁿ\]

Тепер знайдемо значення n, взявши логарифм за основою 2 з обох частин рівняння:

\[\log₂ \left( \frac{{861}}{{768}} \right) = \log₂ 2ⁿ\]

\[n = \log₂ \left( \frac{{861}}{{768}} \right)\]

Розрахуємо це значення:

\[n \approx \log₂ \left(1.12109375\right)\]

\[n \approx 0.13924382\]

Тепер, враховуючи, що n - це кількість первих членів геометричної прогресії, нам потрібно округлити n до найближчого більшого цілого числа, оскільки кількість членів не може бути нецілим числом.

Отже, потрібно взяти \(n = 1\) перший член геометричної прогресії, щоб сума перших n членів дорівнювала 5 цілих 13/16-ти.