А) Какие значения x удовлетворяют уравнению: 16^cosx+16^cosx/2-2=0? б) Какие корни находятся в промежутке [0.5π;1.5π]?

Zolotoy_Klyuch

50

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

а) Начнем с уравнения \(16^{\cos x} + \frac{16^{\cos x/2}}{2} - 2 = 0\). Чтобы найти значения \(x\), которые удовлетворяют этому уравнению, нам нужно решить его.

1. Введем замену: пусть \(y = 16^{\cos x}\). Тогда уравнение можно переписать в виде \(y + \frac{y^2}{2} - 2 = 0\).

2. Домножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \(2y + y^2 - 4 = 0\).

3. Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения: \(y^2 + 2y - 4 = 0\).

4. Решим это квадратное уравнение. Для этого можно использовать формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = -4\).

Вычислим дискриминант: \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20\).

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два вещественных корня.

5. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Подставим значения: \(y = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}\).

Упростим выражение: \(y = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2}\).

Получаем два значения: \(y_1 = -1 + \sqrt{5}\) и \(y_2 = -1 - \sqrt{5}\).

6. Теперь найдем значения \(x\) для каждого значения \(y\). Заменим \(y\) обратно на \(16^{\cos x}\).

Для \(y_1\): \(16^{\cos x} = -1 + \sqrt{5}\).

Так как \(16^{\cos x} > 0\) для любого \(x\), получаем следующее уравнение: \(\cos x = \log_{16}(-1 + \sqrt{5})\).

Используйте калькулятор, чтобы вычислить значение \(\log_{16}(-1 + \sqrt{5})\).

7. Для \(y_2\): \(16^{\cos x} = -1 - \sqrt{5}\).

Аналогично получаем уравнение: \(\cos x = \log_{16}(-1 - \sqrt{5})\).

Опять же, используйте калькулятор, чтобы вычислить значение \(\log_{16}(-1 - \sqrt{5})\).

Теперь у вас есть значения \(\cos x\) для каждого из уравнений. Чтобы найти значения \(x\), возьмите обратный косинус от каждого из этих значений, используя тригонометрическую функцию \(\arccos\).

Пожалуйста, используйте калькулятор, чтобы получить конечные значения \(x\).

б) Чтобы найти корни уравнения в заданном интервале \([0.5\pi ; 1.5\pi]\), необходимо следующие значения \(x\), удовлетворяющие условию:
- \(0.5\pi \leq x \leq 1.5\pi\),
- \(\cos x = \log_{16}(-1 + \sqrt{5})\) или \(\cos x = \log_{16}(-1 - \sqrt{5})\).

Используйте калькулятор, чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие этим условиям и принадлежащие указанному интервалу \([0.5\pi ; 1.5\pi]\).