а) Какое выражение может быть представлено в виде суммы половины и синуса удвоенного угла? б) Какое выражение может

Изумруд

24

а) Выражение, которое может быть представлено в виде суммы половины и синуса удвоенного угла, это \(\frac{1}{2} + \sin(2\theta)\). Почему? Давайте взглянем на это более детально.

Удвоенный угол представляет собой угол, который равен углу \(\theta\), умноженному на 2. Таким образом, \(2\theta\).

Синус удвоенного угла (\(\sin(2\theta)\)) может быть выражен через формулу удвоения угла, которая является производной из тригонометрических тождеств. Формула удвоения угла для синуса звучит следующим образом: \(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\).

Мы знаем, что угол \(\theta\) равен половине суммы двух углов (или сумме двух углов, деленной на 2). Поэтому, \(\theta = \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{2}\theta\).

Подставим значение угла в формулу удвоения угла для синуса: \(\sin(2\theta) = 2\sin\left(\frac{1}{2}\theta + \frac{1}{2}\theta\right)\cos\left(\frac{1}{2}\theta + \frac{1}{2}\theta\right)\).

Теперь мы можем увидеть, что синусы и косинусы в нашем выражении соответствуют половине угла: \(\sin\left(\frac{1}{2}\theta + \frac{1}{2}\theta\right)\) и \(\cos\left(\frac{1}{2}\theta + \frac{1}{2}\theta\right)\).

Итак, выражение \(\frac{1}{2} + \sin(2\theta)\) может быть представлено в виде суммы половины и синуса удвоенного угла.

б) Выражение, которое может быть представлено в виде корня из 3 минус удвоенного синуса угла, это \(\sqrt{3} - 2\sin(\theta)\). Давайте разберемся с этим.

Удвоенный угол (\(2\theta\)) представляет собой угол, который равен углу \(\theta\) умноженному на 2.

Синус угла (\(\sin(\theta)\)) является отношением противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника.

Мы знаем, что угол \(\theta\) равен половине суммы двух углов (или сумме двух углов, деленной на 2). Поэтому, \(\theta = \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{2}\theta\).

Итак, выражение \(\sqrt{3} - 2\sin(\theta)\) соответствует корню из 3 минус удвоенного синуса угла.

в) Выражение, которое может быть представлено в виде единицы плюс двойного косинуса четверного угла, это \(1 + 2\cos(4\theta)\). Почему? Давайте разберемся.

Четверной угол (\(4\theta\)) представляет собой угол, который равен углу \(\theta\) умноженному на 4.

Косинус угла (\(\cos(\theta)\)) является отношением прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника.

Мы знаем, что угол \(\theta\) равен половине суммы двух углов (или сумме двух углов, деленной на 2). Поэтому, \(\theta = \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{2}\theta\).

Итак, выражение \(1 + 2\cos(4\theta)\) соответствует единице плюс двойному косинусу четверного угла.

г) Выражение, которое может быть представлено в виде корня из 2 минус двойного косинуса угла, это \(\sqrt{2} - 2\cos(\theta)\). Почему? Давайте разберемся.

Косинус угла (\(\cos(\theta)\)) является отношением прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника.

Мы знаем, что угол \(\theta\) равен половине суммы двух углов (или сумме двух углов, деленной на 2). Поэтому, \(\theta = \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{2}\theta\).

Итак, выражение \(\sqrt{2} - 2\cos(\theta)\) соответствует корню из 2 минус двойному косинусу угла.

д) Выражение, которое может быть представлено в виде трех минус учетверенного синуса в квадрате удвоенного угла, это \(3 - 4\sin^2(2\theta)\). Почему? Давайте разберемся.

Удвоенный угол (\(2\theta\)) представляет собой угол, который равен углу \(\theta\) умноженному на 2.

Синус угла (\(\sin(\theta)\)) является отношением противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника.

Мы знаем, что угол \(\theta\) равен половине суммы двух углов (или сумме двух углов, деленной на 2). Поэтому, \(\theta = \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{2}\theta\).

Учетверенный синус в квадрате угла (\(\sin^2(2\theta)\)) является квадратом синуса удвоенного угла.

Итак, выражение \(3 - 4\sin^2(2\theta)\) соответствует трех минус учетверенному синусу в квадрате удвоенного угла.

е) Выражение, которое может быть представлено в виде единицы минус четырех косинуса в квадрате угла, это \(1 - 4\cos^2(\theta)\). Почему? Давайте разберемся.

Косинус угла (\(\cos(\theta)\)) является отношением прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника.

Мы знаем, что угол \(\theta\) равен половине суммы двух углов (или сумме двух углов, деленной на 2). Поэтому, \(\theta = \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{2}\theta\).

Четырех косинус в квадрате угла (\(\cos^2(\theta)\)) является квадратом косинуса угла.

Итак, выражение \(1 - 4\cos^2(\theta)\) соответствует единице минус четырем косинусам в квадрате угла.