а) Какому графику соответствует функция y = sin x, а какому графику - функция y = cos x? б) Назовите графики, которые

Таинственный_Маг

46

а) Функция \(y = \sin x\) соответствует графику синусоиды, а функция \(y = \cos x\) соответствует графику косинусоиды.

Построим график функции \(y = \sin x\). Для этого возьмем несколько значений аргумента \(x\) и вычислим соответствующие значения функции \(\sin x\):

\[
\begin{align*}
x &= 0, \quad y = \sin 0 = 0 \\
x &= \frac{\pi}{6}, \quad y = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \\
x &= \frac{\pi}{4}, \quad y = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\
x &= \frac{\pi}{3}, \quad y = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\
x &= \frac{\pi}{2}, \quad y = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \\
x &= \pi, \quad y = \sin \pi = 0 \\
\end{align*}
\]

Получившаяся последовательность пар значений \((x, y)\) задает точки на графике функции \(\sin x\). Если мы соединим эти точки гладкой кривой, то получим синусоиду. График функции \(y = \sin x\) будет колебаться от -1 до 1 и проходить через точку \((0,0)\).

Теперь построим график функции \(y = \cos x\). В этом случае также возьмем несколько значений аргумента \(x\) и вычислим соответствующие значения функции \(\cos x\):

\[
\begin{align*}
x &= 0, \quad y = \cos 0 = 1 \\
x &= \frac{\pi}{6}, \quad y = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\
x &= \frac{\pi}{4}, \quad y = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\
x &= \frac{\pi}{3}, \quad y = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \\
x &= \frac{\pi}{2}, \quad y = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \\
x &= \pi, \quad y = \cos \pi = -1 \\
\end{align*}
\]

Точки с координатами \((x, y)\), вычисленные для функции \(\cos x\), также образуют график, который в данном случае будет представлять собой косинусоиду. График функции \(y = \cos x\) будет колебаться от 1 до -1 и проходить через точку \((0,1)\).

б) Четными функциями называются функции, которые симметричны относительно оси \(y\). То есть, если значение функции \(-y\) равно значению функции \(y\) при любом значении аргумента \(x\), то функция является четной.

Графиком четной функции является график, который симметричен относительно оси \(y\). Примерами четных функций являются \(y = \cos x\) и \(y = \cosh x\).

Нечетными функциями называются функции, которые симметричны относительно начала координат. Если значение функции \(-y\) равно значению функции \(y\) с противоположным знаком (\(y = -y\)) при любом значении аргумента \(x\), то функция является нечетной. Графиком нечетной функции является график, который симметричен относительно начала координат. Примерами нечетных функций являются \(y = \sin x\) и \(y = \sinh x\).

Таким образом, функции \(y = \cos x\) и \(y = \cosh x\) являются четными, а функции \(y = \sin x\) и \(y = \sinh x\) являются нечетными.