а) Каков коэффициент А для данной непрерывной случайной величины, заданной дифференциальной функцией f(x) = Ax^2

Магический_Лабиринт

1

Для решения этой задачи нам необходимо найти коэффициент A для функции f(x) и интегральную функцию F(x).

Итак, у нас есть заданная дифференциальная функция f(x) = Ax^2 при x ≤ 1 и f(x) = 0 при x > 1. Чтобы найти коэффициент A, мы можем использовать условие нормализации функции плотности вероятности. Сумма всех значений функции плотности вероятности должна быть равна единице:

\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1.\]

Рассмотрим два интервала, в которых задана функция f(x). Один интервал от минус бесконечности до 1, где функция равна Ax^2, и второй интервал от 1 до плюс бесконечности, где функция равна нулю.

Таким образом, наше выражение для интегрирования будет выглядеть следующим образом:

\[\int_{-\infty}^{1} Ax^2 \, dx + \int_{1}^{\infty} 0 \, dx = 1.\]

Первое слагаемое в этом выражении будет равно:

\[\int_{-\infty}^{1} Ax^2 \, dx = A\int_{-\infty}^{1} x^2 \, dx.\]

Вычисляя интеграл, получим:

\[\left[\frac{A}{3}x^3\right]_{-\infty}^{1} = \frac{A}{3}.\]

Поскольку функция f(x) равна нулю при x > 1, второе слагаемое будет равно нулю:

\[\int_{1}^{\infty} 0 \, dx = 0.\]

Теперь можем записать наше уравнение:

\[\frac{A}{3} + 0 = 1.\]

Отсюда получаем значение коэффициента A:

\[\frac{A}{3} = 1 \Rightarrow A = 3.\]

Таким образом, коэффициент A равен 3.

Чтобы найти интегральную функцию F(x), мы интегрируем функцию f(x) от минус бесконечности до x:

\[F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt.\]

Учитывая, что для x ≤ 1 функция f(t) равна Ax^2, а для x > 1 функция f(t) равна нулю, у нас есть два случая.

Для x ≤ 1:

\[F(x) = \int_{-\infty}^{x} At^2 \, dt.\]

Вычисляя интеграл, получим:

\[F(x) = \left[\frac{A}{3}t^3\right]_{-\infty}^{x} = \frac{A}{3}x^3.\]

Для x > 1:

\[F(x) = \int_{-\infty}^{1} At^2 \, dt.\]

В данном случае нам нужно вычислить интеграл от минус бесконечности до 1, поскольку функция f(t) равна нулю при x > 1. Это даст нам значение, которое будет равно F(1). Поскольку в этом случае функция f(t) равна постоянной величине A, получим:

\[F(x) = \int_{-\infty}^{1} A \, dt = A.\]

Итак, интегральная функция F(x) для заданной непрерывной случайной величины будет следующей:

Для x ≤ 1: \(F(x) = \frac{A}{3}x^3\).
Для x > 1: \(F(x) = A\) (постоянное значение для x > 1, равное F(1)).

В итоге, дифференциальная функция \(f(x) = Ax^2\) при \(x ≤ 1\) и \(f(x) = 0\) при \(x > 1\) имеет коэффициент A, равный 3, и интегральную функцию F(x), которая определяется как:

Для \(x ≤ 1\): \(F(x) = \frac{3}{3}x^3 = x^3\).
Для \(x > 1\): \(F(x) = 3\) (постоянное значение для \(x > 1\)).