а) Каков радиус основания цилиндра, если его диагональ осевого сечения равна 16√2 см? б) Чему равна высота цилиндра

Дракон

65

a) Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства осевого сечения цилиндра. Диагональ осевого сечения является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания и высотой цилиндра. Мы можем применить теорему Пифагора для решения этой задачи.

Пусть радиус основания цилиндра равен \(r\). Тогда высота цилиндра также равна \(r\), потому что данный цилиндр является равнобочным.

Имеем следующую формулу:

\[\text{диагональ}^2 = \text{радиус}^2 + \text{высота}^2\]

Подставим данную в задаче диагональ осевого сечения, а радиус и высоту обозначим как \(r\):

\[(16\sqrt{2})^2 = r^2 + r^2\]

Выполним необходимые вычисления:

\[256 \cdot 2 = 2r^2\]

\[512 = 2r^2\]

Поделим обе части уравнения на 2:

\[256 = r^2\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[\sqrt{256} = \sqrt{r^2}\]

\[16 = r\]

Таким образом, радиус основания цилиндра равен 16 см.

b) В данной задаче у нас есть информация о диаметре основания цилиндра и угле между его диагональю осевого сечения и образующей. Мы можем использовать определение тангенса угла, чтобы решить эту задачу.

Для начала, обратимся к треугольнику, образованному радиусом основания, высотой цилиндра и образующей цилиндра. Мы знаем, что диаметр основания составляет 4√2, следовательно, радиус основания равен \(\frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\).

Также, нам дано, что диагональ осевого сечения образует угол 30° с образующей цилиндра. Мы можем использовать свойство тангенса угла для решения задачи:

\[\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}\]

\[\tan(30^\circ) = \frac{\text{высота}}{\text{радиус}}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{2\sqrt{2}}\]

Умножим обе части уравнения на \(2\sqrt{2}\):

\[\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = h\]

Рационализуем знаменатель, умножив его на \(\sqrt{3}\):

\[\frac{2\sqrt{6}}{3} = h\]

Таким образом, высота цилиндра равна \(\frac{2\sqrt{6}}{3}\) см.