Каков тангенс двугранного угла, образованного плоскостями ADC, если сторона С правильного треугольника ABC равна

Belka

59

Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойства треугольника и понятие тангенса.

В данной задаче у нас есть две плоскости: ADC и DBC. Поскольку эти плоскости взаимно перпендикулярны, то у них общая нормальная линия, проходящая через общую вершину C. Как мы знаем, угол между плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами.

Так как треугольник DBC является равнобедренным, то отрезок DB равен отрезку DC. Поскольку DB = DC = 2a, то мы можем найти вектор, перпендикулярный плоскости DBC. Обозначим этот вектор как \(\vec{n}\).

Также у нас есть нормальный вектор перпендикулярной плоскости ADC, который обозначим как \(\vec{m}\).

Для того, чтобы найти тангенс угла между плоскостями ADC и DBC, мы можем использовать следующую формулу:

\[\tan(\theta) = \frac{{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}}{{|\vec{m}| \cdot |\vec{n}|}}\]

где \(\theta\) - искомый угол между плоскостями, \(|\vec{m} \cdot \vec{n}|\) - скалярное произведение векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\), а \(|\vec{m}|\) и \(|\vec{n}|\) - длины этих векторов.

Чтобы найти вектор \(\vec{m}\), мы можем взять направляющие векторы плоскости ADC, которые будут параллельны сторонам треугольника ABC.

Так как треугольник ABC - правильный, то у него все стороны равны. Выберем направляющие векторы плоскости ADC, обозначим их как \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\). Тогда:

\(\vec{u}\) = \(\vec{AB}\) = \(a(1, 0, 0)\)

\(\vec{v}\) = \(\vec{AC}\) = \((-a/2, \sqrt{3}a/2, 0)\)

Теперь мы можем найти вектор \(\vec{m}\) как векторное произведение \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\):

\(\vec{m}\) = \(\vec{u} \times \vec{v}\)

Произведя вычисления, мы получаем:

\(\vec{m}\) = \(\left(0, 0, \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)\)

Теперь длину вектора \(\vec{m}\) мы можем найти, используя следующую формулу:

\(|\vec{m}|\) = \(\sqrt{\left(0\right)^2 + \left(0\right)^2 + \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)^2}\) = \(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)

Теперь мы можем приступить к нахождению вектора \(\vec{n}\). Обратимся к треугольнику DBC. Как уже было сказано, его стороны DB и DC равны 2a. Заметим, что вектор \(\vec{n}\) перпендикулярен плоскости DBC и проходит через точку C. Таким образом, его координаты будут (0, 0, z), где z - координата точки C по оси z.

Элементарной тригонометрией мы можем найти z. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDC", где C" - проекция точки C на плоскость DBC. Так как треугольник DBC равнобедренный, то угол между стороной DC и плоскостью DBC равен 45 градусов.

Таким образом, мы можем записать соотношение:

\tan(45^\circ) = \frac{DC"}{DC}

где DC" - расстояние между плоскостью DBC и точкой C.

Поскольку угол 45 градусов, то его тангенс равен 1. Расстояние DC" равно z. Таким образом, мы можем записать:

1 = \frac{z}{2a}

Раскрывая это соотношение, мы получаем:

z = 2a

Теперь, зная координаты вектора \(\vec{n}\), мы можем посчитать его длину:

\(|\vec{n}|\) = \(\sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (2a)^2}\) = \(\sqrt{4a^2}\) = 2a

Наконец, подставим все полученные значения в формулу для нахождения тангенса угла:

\tan(\theta) = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(0, 0, \frac{a^2\sqrt{3}}{2}) \cdot (0, 0, 2a)|}{\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot 2a} = \frac{0}{\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot 2a} = 0

Таким образом, тангенс угла \(\theta\) равен 0.