Какова длина диагонали квадрата, внутренно окруженного окружностью радиусом 8√2?

Svetik

11

Чтобы найти длину диагонали квадрата, внутренно окруженного окружностью радиусом \(8\sqrt{2}\), мы можем воспользоваться основными свойствами квадрата и окружности.

Во-первых, обратимся к окружности, которая вписана в квадрат. Эта окружность касается каждой стороны квадрата посередине, образуя четыре равных отрезка. Поскольку радиус окружности равен \(8\sqrt{2}\), длина каждой стороны квадрата равна \(2 \cdot 8\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\).

Теперь давайте посмотрим на диагональ квадрата. Диагональ делит квадрат на два прямоугольных треугольника, и каждый из них имеет стороны, равные стороне квадрата.

Мы знаем, что длина каждой стороны квадрата равна \(16\sqrt{2}\). Давайте обозначим длину диагонали как \(d\). В результате применения теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников, получим:

\[d^2 = (16\sqrt{2})^2 + (16\sqrt{2})^2\]
\[d^2 = 256 \cdot 2 + 256 \cdot 2\]
\[d^2 = 512 + 512\]
\[d^2 = 1024\]

Чтобы найти длину диагонали \(d\), возьмем квадратный корень из обеих сторон:

\[d = \sqrt{1024} = 32\]

Таким образом, длина диагонали квадрата, внутренно окруженного окружностью радиусом \(8\sqrt{2}\), равна 32.