а) Каков радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC = 12 см и медианой BM = 8

Magicheskaya_Babochka_5518

52

Решение:

а)

В равнобедренном треугольнике $ABC$ вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $D$, $E$ и $F$. Также известно, что точка касания вписанной окружности к стороне $BC$ (точка $E$) является серединой основания треугольника.

Так как $BM$ является медианой, то $E$ является серединой стороны $AC$. Следовательно, $AE = EC = \frac{AC}{2} = 6$.

Также из свойства вписанной окружности в равнобедренном треугольнике известно, что медиана к основанию треугольника равна сумме радиуса вписанной окружности и высоте $h_1$, опущенной из вершины треугольника на стороны $AC$.

Пусть радиус вписанной окружности равен $r$, тогда $BM = 8 = r + h_1$.

Так как $BM$ - медиана, $BM = \frac{AC}{2} = 6$.

Из уравнений $8 = r + h_1$ и $6 = r$ можно найти высоту $h_1 = 2$.

Теперь, используя формулу для площади треугольника через радиус вписанной окружности $S = rs$, где $s$ - полупериметр треугольника, можно найти площадь треугольника по другим сторонам:

\[S = r \cdot (AC) = r \cdot 12 = r \cdot 12\] .

Также можно найти площадь треугольника через основание $b$ и высоту $h$, $S = \frac{bh}{2}$.

Подставив известные значение $b = 12$, $h = 2$, можно решить уравнение и найти радиус вписанной окружности:

\[r = \frac{bh}{2s} = \frac{12 \cdot 2}{2 \cdot 12} = \frac{24}{24} = 1\].

Ответ: Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника $ABC$ равен 1 см.

б)

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника равен половине длины стороны $AC$, так как высота, опущенная из вершины на описанную окружность, перпендикулярна основанию $AC$ и проходит через центр описанной окружности.

Половина длины основания треугольника $AC$ равна $6$ см ($\frac{AC}{2} = 6$).

Ответ: Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника $ABC$ равен 6 см.