а) Каковы координаты векторов, имеющих начало в точках А(1; 3) и В(4; 7), а также С(-1; -1) и D(7; 5)?

Yaponka

60

а) Для нахождения координат векторов, имеющих начало в заданных точках, мы вычитаем координаты начальной точки из координат конечной точки каждого вектора.

Для вектора AB:
\[
\begin{align*}
X_{AB} &= X_B - X_A = 4 - 1 = 3 \\
Y_{AB} &= Y_B - Y_A = 7 - 3 = 4 \\
\end{align*}
\]

Для вектора CD:
\[
\begin{align*}
X_{CD} &= X_D - X_C = 7 - (-1) = 8 \\
Y_{CD} &= Y_D - Y_C = 5 - (-1) = 6 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, координаты вектора AB равны (3; 4), а координаты вектора CD равны (8; 6).

б) Длина вектора можно найти с помощью формулы длины вектора \(|\vec{AB}| = \sqrt{{X_{AB}}^2 + {Y_{AB}}^2}\).

Для вектора AB:
\[
\begin{align*}
|\vec{AB}| &= \sqrt{{X_{AB}}^2 + {Y_{AB}}^2} \\
&= \sqrt{{3^2} + {4^2}} \\
&= \sqrt{9 + 16} \\
&= \sqrt{25} \\
&= 5 \\
\end{align*}
\]

Для вектора CD:
\[
\begin{align*}
|\vec{CD}| &= \sqrt{{X_{CD}}^2 + {Y_{CD}}^2} \\
&= \sqrt{{8^2} + {6^2}} \\
&= \sqrt{64 + 36} \\
&= \sqrt{100} \\
&= 10 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, длина вектора AB равна 5, а длина вектора CD равна 10.

в) Скалярное произведение векторов AB и CD можно найти с помощью формулы скалярного произведения \(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = X_{AB} \cdot X_{CD} + Y_{AB} \cdot Y_{CD}\).

Для векторов AB и CD:
\[
\begin{align*}
\vec{AB} \cdot \vec{CD} &= X_{AB} \cdot X_{CD} + Y_{AB} \cdot Y_{CD} \\
&= 3 \cdot 8 + 4 \cdot 6 \\
&= 24 + 24 \\
&= 48 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов AB и CD равно 48.

г) Косинус угла \(\theta\) между векторами AB и CD можно найти с помощью формулы для косинуса угла между векторами \(\cos(\theta) = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}}\).

Для векторов AB и CD:
\[
\begin{align*}
\cos(\theta) &= \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}} \\
&= \frac{{48}}{{5 \cdot 10}} \\
&= \frac{{48}}{{50}} \\
&= \frac{{24}}{{25}} \\
\end{align*}
\]

Таким образом, косинус угла \(\theta\) между векторами AB и CD равен \(\frac{{24}}{{25}}\).

д) Чтобы определить, является ли данный угол острым, прямым или тупым, нам нужно анализировать знак косинуса угла \(\theta\).

Если \(0 < \cos(\theta) < 1\), то угол острый.
Если \(\cos(\theta) = 0\), то угол прямой.
Если \(-1 < \cos(\theta) < 0\), то угол тупой.

Так как \(\frac{{24}}{{25}}\) находится в интервале \(0 < \cos(\theta) < 1\), можем сделать вывод, что данный угол является острым.

е) Векторы СВ и DQ будут перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Найдем значения х, при которых это условие выполняется.

Для вектора СВ:
\[
\begin{align*}
X_{СВ} &= X_B - X_C = 4 - (-1) = 5 \\
Y_{СВ} &= Y_B - Y_C = 7 - (-1) = 8 \\
\end{align*}
\]

Для вектора DQ:
\[
\begin{align*}
X_{DQ} &= X_Q - X_D = x - 7 \\
Y_{DQ} &= Y_Q - Y_D = 9 - 5 = 4 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, чтобы векторы СВ и DQ были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю:
\[
X_{СВ} \cdot X_{DQ} + Y_{СВ} \cdot Y_{DQ} = 5(x-7) + 8 \cdot 4 = 0
\]

Решим это уравнение относительно x:
\[
5(x-7) + 8 \cdot 4 = 0
\]
\[
5x - 35 + 32 = 0
\]
\[
5x - 3 = 0
\]
\[
5x = 3
\]
\[
x = \frac{3}{5}
\]

Таким образом, при \(x = \frac{3}{5}\) векторы СВ и DQ будут перпендикулярными.