а) Какой множитель внести под знак корня для числа 5^3? b) Найдите множитель, который нужно внести под знак корня

Радио

31

a) Чтобы найти множитель, который нужно внести под знак корня для числа \(5^3\), мы должны использовать правило, которое говорит, что корень из произведения чисел равен произведению корней этих чисел. В данном случае, число \(5^3\) можно записать как \(5 \cdot 5 \cdot 5\).

Теперь, чтобы внести множитель под знак корня, мы можем разбить его на два множителя: один из них будет внесён под знак корня, а второй останется снаружи. Найдём такой множитель.

Мы знаем, что корень третьей степени из числа \(5 \cdot 5 \cdot 5\) равен корню третьей степени из каждого из множителей. То есть,

\[\sqrt[3]{5 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5}\]

Следовательно, множитель, который нужно внести под знак корня для числа \(5^3\), равняется \(\sqrt[3]{5}\).

b) Для выражения \(-\frac{1}{2^{12} \cdot x}\) мы должны найти множитель, который нужно внести под знак корня, чтобы упростить его. Правило, которое поможет нам в этом, гласит, что корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.

Применим это правило к выражению \(-\frac{1}{2^{12} \cdot x}\):

\[\sqrt{-\frac{1}{2^{12} \cdot x}} = -\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2^{12} \cdot x}} = -\frac{1}{\sqrt{2^{12} \cdot x}}\]

Таким образом, множитель, который нужно внести под знак корня, чтобы упростить выражение \(-\frac{1}{2^{12} \cdot x}\), равняется \(\sqrt{2^{12} \cdot x}\).

c) Чтобы внести множитель \(\frac{2^3}{4}\) под знак корня, мы должны применить правило, которое гласит, что корень из частного равен частному корней числителя и знаменателя.

В нашем случае, чтобы внести множитель \(\frac{2^3}{4}\) под знак корня, мы можем записать его как \(\frac{\sqrt{2^3}}{\sqrt{4}}\).

Значение радикала \(\sqrt{2^3}\) равняется \(\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{8}\), а значение радикала \(\sqrt{4}\) равно \(2\).

Таким образом, чтобы внести множитель \(\frac{2^3}{4}\) под знак корня, мы получаем \(\frac{\sqrt{8}}{2}\).