а) Напишите уравнение плоскости А1А2А3. б) Сформулируйте уравнение прямой А1А2. в) Составьте уравнение прямой

Yana

50

а) Чтобы найти уравнение плоскости \(А1А2А3\), мы можем использовать следующий метод:
1. Пусть точка \(P\) лежит на плоскости.
2. Векторы \(\overrightarrow{А1P}\) и \(\overrightarrow{А1А2}\) должны быть коллинеарными.
3. Векторы \(\overrightarrow{А1P}\) и \(\overrightarrow{А1А3}\) должны быть коллинеарными.
Мы знаем координаты точек \(А1(3,1,4)\), \(А2(-1,6,1)\) и \(А3(-1,1,6)\).
Чтобы найти вектор \(\overrightarrow{А1А2}\), вычтем из координат точки \(А2\) координаты точки \(А1\):
\[\overrightarrow{А1А2} = (-1-3, 6-1, 1-4) = (-4, 5, -3)\]
По аналогии найдём вектор \(\overrightarrow{А1А3}\):
\[\overrightarrow{А1А3} = (-1-3, 1-1, 6-4) = (-4, 0, 2)\]
Теперь возьмём точку \(P(x, y, z)\), чтобы составить уравнение плоскости с помощью нормального вектора. Нормальный вектор \(\overrightarrow{N}\) плоскости можно найти как векторное произведение векторов \(\overrightarrow{А1А2}\) и \(\overrightarrow{А1А3}\):
\[\overrightarrow{N} = \overrightarrow{А1А2} \times \overrightarrow{А1А3}\]
Выполняя вычисления, получим:
\[\overrightarrow{N} = (-4, 5, -3) \times (-4, 0, 2) = (-15, -4, -20)\]
Теперь мы знаем нормальный вектор и точку на плоскости, поэтому можем записать уравнение плоскости в виде:
\(-15(x-3) -4(y-1) -20(z-4) = 0\)

б) Для того чтобы сформулировать уравнение прямой \(А1А2\), мы можем использовать две точки на прямой.
У нас уже есть точки \(А1(3,1,4)\) и \(А2(-1,6,1)\).
Для построения уравнения прямой воспользуемся параметрическим способом.
Пусть \(t\) - параметр. Координаты точки на прямой могут быть записаны как:
\[x = 3 - t(3 - (-1))\]
\[y = 1 + t(6 - 1)\]
\[z = 4 - t(4 - 1)\]
Сокращая и упрощая, получаем:
\[x = 4t - 1\]
\[y = 5t + 1\]
\[z = -3t + 4\]

в) Чтобы найти уравнение прямой \(А4М\), которая перпендикулярна плоскости \(А1А2А3\), нам снова понадобится нормальный вектор плоскости.
Мы уже вычислили нормальный вектор плоскости \(\overrightarrow{N} = (-15, -4, -20)\).
После этого мы можем записать уравнение прямой, используя точку \(А4(0,4,-1)\) и направляющий вектор прямой \(\overrightarrow{N}\):
\[(x - 0) = -15t\]
\[(y - 4) = -4t\]
\[(z - (-1)) = -20t\]
Упрощая, получаем:
\[x = -15t\]
\[y = -4t + 4\]
\[z = -20t + 1\]

г) Чтобы найти уравнение прямой \(А3N\), параллельной прямой \(А1А2\), мы можем использовать точку \(А3(-1,1,6)\) и направляющий вектор прямой \(А1А2\), который мы уже нашли ранее: \(\overrightarrow{А1А2} = (-4, 5, -3)\).
Уравнение прямой будет иметь вид:
\[(x - (-1)) = -4t\]
\[(y - 1) = 5t\]
\[(z - 6) = -3t\]
Упрощая, получаем:
\[x = -4t - 1\]
\[y = 5t + 1\]
\[z = -3t + 6\]

д) У нас есть точка \(А4(0, 4, -1)\) и прямая \(А1А2\) с направляющим вектором \(-4t + 1, 5t + 1, -3t + 4\). Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку \(А4\) и перпендикулярной прямой \(А1А2\), мы можем использовать точку и нормальный вектор плоскости.
Уравнение плоскости будет иметь вид:
\[-4(x - 0) + 5(y - 4) - 3(z + 1) = 0\]
Упрощая, получаем:
\[-4x + 20 - 20 + 5y - 20 - 3z - 3 = 0\]
\[-4x + 5y - 3z - 3 = 0\]

е) Чтобы рассчитать синус угла между прямой \(А1А4\) и плоскостью \(А1А2А3\), мы можем воспользоваться формулой:
\[\sin{\theta} = \frac{{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m}|}}{{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}}\]
Где \(\overrightarrow{n}\) - нормальный вектор плоскости \(А1А2А3\), а \(\overrightarrow{m}\) - направляющий вектор прямой \(А1А4\).
Мы уже знаем, что \(\overrightarrow{n} = (-15, -4, -20)\).
Найдём направляющий вектор прямой \(А1А4\) вычитая из координат точки \(А4\) координаты точки \(А1\):
\[\overrightarrow{m} = (0 - 3, 4 - 1, -1 - 4) = (-3, 3, -5)\]
Теперь выполним вычисления:
\[\sin{\theta} = \frac{{|-15 \cdot -3 + -4 \cdot 3 + -20 \cdot -5|}}{{\sqrt{(-15)^2 + (-4)^2 + (-20)^2} \cdot \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + (-5)^2}}} = \frac{{157}}{{\sqrt{741} \cdot \sqrt{59}}}\]

ж) Чтобы вычислить косинус угла между координатной плоскостью \(Oxy\) и плоскостью \(А1А2А3\), мы можем использовать формулу:
\[\cos{\theta} = \frac{{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{k}|}}{{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{k}|}}\]
Где \(\overrightarrow{n}\) - нормальный вектор плоскости \(А1А2А3\), а \(\overrightarrow{k}\) - нормальный вектор плоскости \(Oxy\).
Нормальный вектор плоскости \(Oxy\) равен \((0, 0, 1)\).
Теперь выполним вычисления:
\[\cos{\theta} = \frac{{|-15 \cdot 0 + -4 \cdot 0 + -20 \cdot 1|}}{{\sqrt{(-15)^2 + (-4)^2 + (-20)^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}}}\]