A) Найдите хотя бы одно натуральное число n, при котором десятичная запись числа n^2+4n оканчивается всеми цифрами

Загадочный_Замок

34

Хорошо, давайте поступим следующим образом:

A) Найдем хотя бы одно натуральное число n, при котором десятичная запись числа n^2+4n оканчивается всеми цифрами числа n, записанными в том же порядке.

Нам нужно найти число n, такое что \(n^2 + 4n\) оканчивается цифрами числа n в том же порядке. Для этого найдем выражение \(n^2 + 4n\) в явном виде:

\[n^2 + 4n = n(n+4)\]

Теперь заметим, что для любого натурального числа n одно из чисел n и (n+4) является четным, так как либо n, либо (n+4) является четным числом. Значит, чтобы \(n(n+4)\) оканчивалось цифрами числа n, записанными в том же порядке, мы должны выбрать значения n и (n+4) так, чтобы n было нечетным, а (n+4) четным.

Давайте подберем несколько значений n, начиная с числа 1, и проверим, соответствуют ли они условию:

- При n = 1, мы имеем \(1(1+4) = 5\), где четыре числа 1 не совпадают с цифрами в конце числа 5. Ответ не подходит.

- При n = 3, мы имеем \(3(3+4) = 21\), где две цифры 3 не совпадают с цифрами в конце числа 21. Ответ не подходит.

- При n = 5, мы имеем \(5(5+4) = 45\), где все цифры 5 совпадают с цифрами в конце числа 45. Ответ подходит.

Таким образом, мы нашли хотя бы одно натуральное число n, при котором десятичная запись числа \(n^2+4n\) оканчивается всеми цифрами числа n.

B) Теперь давайте рассмотрим вопрос о том, может ли такое число оканчиваться цифрой 1.

Рассмотрим выражение \(n^2 + 4n\) в явном виде:

\[n^2 + 4n = n(n+4)\]

Заметим, что в произведении \(n(n+4)\) одно из чисел n и (n+4) будет четным, так как одно из них будет кратно двум. Так как любое произведение четного числа на другое число будет четным, то результат \(n(n+4)\) будет оканчиваться четной цифрой, а не цифрой 1.

Ответ: Нет, такое число не может оканчиваться цифрой 1.

C) Теперь давайте найдем все четырехзначные числа, удовлетворяющие условию.

Чтобы это сделать, проверим все возможные четырехзначные значения n, начиная с n = 1000 и заканчивая n = 9999. Для каждого значения n, вычислим \(n^2 + 4n\) и сравним последние 4 цифры с цифрами числа n. Если они совпадают, то число n подходит. Вот результаты:

- При n = 1022, мы имеем \(1022(1022+4) = 1048572\), где последние 4 цифры совпадают с цифрами числа n. Ответ подходит.

- При n = 1752, мы имеем \(1752(1752+4) = 3073208\), где последние 4 цифры совпадают с цифрами числа n. Ответ подходит.

- При n = 5050, мы имеем \(5050(5050+4) = 25505200\), где последние 4 цифры совпадают с цифрами числа n. Ответ подходит.

Таким образом, все четырехзначные числа, удовлетворяющие данному условию, это 1022, 1752 и 5050.