а) Найдите коэффициент при x^6 для многочлена P(x) = (x + 2)^6. б) Найдите коэффициент при x для многочлена P(x)

Даша

48

Хорошо, я помогу вам с этими задачами.

а) Чтобы найти коэффициент при \(x^6\) в многочлене \(P(x) = (x + 2)^6\), мы можем использовать биномиальный коэффициент. Биномиальный коэффициент для многочлена \((x + y)^n\) вычисляется по формуле \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n\) - степень многочлена, \(k\) - степень \(x\), и \(!\) обозначает факториал.

В данном случае, \(n = 6\) и \(k = 6\), так как мы ищем коэффициент при \(x^6\). Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:

\[C(6, 6) = \frac{6!}{6!(6-6)!} = 1\]

Таким образом, коэффициент при \(x^6\) в многочлене \(P(x) = (x + 2)^6\) равен 1.

б) Чтобы найти коэффициент при \(x\) в многочлене \(P(x) = (x + 2)^6\), мы также можем использовать биномиальный коэффициент. В данном случае, \(n = 6\) и \(k = 1\), так как мы ищем коэффициент при \(x\). Применяя формулу биномиального коэффициента, мы получаем:

\[C(6, 1) = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6\]

Значит, коэффициент при \(x\) в многочлене \(P(x) = (x + 2)^6\) равен 6.

в) Чтобы найти коэффициент при \(x^3\) в многочлене \(P(x) = (x + 2)^6\), мы снова применим биномиальный коэффициент. В данном случае, \(n = 6\) и \(k = 3\), так как мы ищем коэффициент при \(x^3\). Подставив эти значения в формулу биномиального коэффициента, мы получим:

\[C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = 20\]

Следовательно, коэффициент при \(x^3\) в многочлене \(P(x) = (x + 2)^6\) равен 20.

г) Чтобы найти свободный член (коэффициент при \(x^0\)) в многочлене \(P(x) = (x + 2)^6\), мы можем заметить, что свободный член - это значение многочлена при \(x = 0\). Подставляя это значение, мы получаем:

\[P(0) = (0 + 2)^6 = 2^6 = 64\]

Таким образом, свободный член в многочлене \(P(x) = (x + 2)^6\) равен 64.