A) Найдите решение уравнения: 2log4^2(4sinx) - 3log4(sinx) - 2 = 0 Б) Определите все значения переменной, которые

Павел

30

Хорошо, давайте решим задачу шаг за шагом.

A) Найдите решение уравнения: \(2\log_{4^2}(4\sin(x)) - 3\log_4(\sin(x)) - 2 = 0\)

Для начала, давайте перепишем уравнение, используя свойства логарифмов:

\(2\log_{4^2}(4\sin(x)) - 3\log_4(\sin(x)) - 2 = 0\)

Можем заметить, что \(\log_{4^2}(4\sin(x))\) эквивалентно \(\log_4(4\sin(x))^2\):

\(2\log_4(4\sin(x))^2 - 3\log_4(\sin(x)) - 2 = 0\)

Теперь мы можем применить правило логарифмов \(\log_a(b^c) = c\log_a(b)\):

\(\log_4(4\sin(x))^4 - \log_4(\sin(x))^3 - 2 = 0\)

Давайте перепишем уравнение в виде:

\((\log_4(4\sin(x)))^4 - 3(\log_4(\sin(x))) - 2 = 0\)

Обозначим \(\log_4(\sin(x))\) за \(a\):

\(a^4 - 3a-2=0\)

Теперь мы можем решить это уравнение в отношении переменной \(а\). Мы можем попробовать разложить его на множители или использовать кубическую формулу, но в данном случае обратимся к методу подстановки. Попробуем значения \(a = -2\), \(a = 1\), \(a = -1\) и \(a = 2\), чтобы проверить, являются ли они корнями уравнения.

a) Если \(a = -2\):

\((-2)^4 - 3(-2) - 2\)

\(16 + 6 - 2 = 20\)

Результат не равен нулю, поэтому \(a = -2\) не является корнем уравнения.

b) Если \(a = 1\):

\(1^4 - 3(1) - 2\)

\(1 - 3 - 2 = -4\)

Результат также не равен нулю, поэтому \(a = 1\) не является корнем уравнения.

c) Если \(a = -1\):

\((-1)^4 - 3(-1) - 2\)

\(1 + 3 - 2 = 2\)

И в этом случае результат не равен нулю, поэтому \(a = -1\) не является корнем уравнения.

d) Если \(a = 2\):

\(2^4 - 3(2) - 2\)

\(16 - 6 - 2 = 8\)

В этом случае значение равно нулю, поэтому \(a = 2\) является корнем уравнения.

Таким образом, мы нашли один корень уравнения: \(a = 2\). Теперь давайте вернемся к исходной переменной \(x\):

\(\log_4(\sin(x)) = 2\)

Теперь мы можем экспоненциировать обе стороны уравнения:

\(4^{\log_4(\sin(x))} = 4^2\)

\(\sin(x) = 4^2\)

\(\sin(x) = 16\)

Однако, значение \(\sin(x)\) не может быть больше 1, поэтому уравнение не имеет решений.

B) Теперь определим все значения переменной \(x\), которые являются корнями уравнения и принадлежат отрезку \([-3\pi/2 ; 3\pi/4]\).

Из предыдущего ответа мы знаем, что уравнение \(\sin(x) = 16\) не имеет решений. Следовательно, нет корней уравнения, которые принадлежат заданному отрезку \([-3\pi/2 ; 3\pi/4]\).

Таким образом, уравнение не имеет решений на этом отрезке.

Не стесняйтесь задавать вопросы, если вам что-либо не ясно.