A) Найдите решение уравнения 2sin^2 x - sinx/log7 (cosx)=0. б) Определите значения x, при которых выражение равно нулю

Полярная

68

Конечно! Давайте начнем с решения уравнения \(2\sin^2 x - \frac{{\sin x}}{{\log 7(\cos x)}} = 0\).

Для начала, заметим, что уравнение содержит тригонометрическую функцию \(\sin x\) и логарифм \(\log 7(\cos x)\). Чтобы упростить уравнение, мы можем умножить обе части на \(\log 7(\cos x)\), чтобы избавиться от дроби в уравнении:

\[2\sin^2 x \cdot \log 7(\cos x) - \sin x = 0\]

Теперь у нас есть уравнение без дроби. Мы можем применить тригонометрическую тождества, чтобы преобразовать его. Давайте воспользуемся формулой \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\):

\[2(1 - \cos^2 x) \cdot \log 7(\cos x) - \sin x = 0\]

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

\[2\log 7(\cos x) - 2\cos^2 x \cdot \log 7(\cos x) - \sin x = 0\]

Далее, рассмотрим второе слагаемое. Мы знаем, что \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). Подставим это в уравнение:

\[2\log 7(\cos x) - 2(1 - \sin^2 x) \cdot \log 7(\cos x) - \sin x = 0\]

Теперь раскроем скобки и получим:

\[2\log 7(\cos x) - 2\log 7(\cos x) + 2\sin^2 x \cdot \log 7(\cos x) - \sin x = 0\]

Сократим совпадающие слагаемые:

\[2\sin^2 x \cdot \log 7(\cos x) - \sin x = 0\]

У нас получилось уравнение, которое теперь более просто. Рассмотрим его два частных случая:

1. Когда \(\sin x = 0\):

Если \(\sin x = 0\), то \(\log 7(\cos x)\) может быть любым числом. Следовательно, мы получаем одно решение: \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число.

2. Когда \(\sin x \neq 0\):

В этом случае, мы можем сократить \(\sin x\) с обеих сторон уравнения:

\[2\sin x \cdot \log 7(\cos x) - 1 = 0\]

Теперь решим уравнение относительно \(\sin x\):

\[2\sin x \cdot \log 7(\cos x) = 1\]

И делим обе стороны на \(2\log 7(\cos x)\):

\[\sin x = \frac{1}{{2\log 7(\cos x)}}\]

Теперь у нас есть уравнение для \(\sin x\), и мы можем найти его значения путем решения уравнения \(\sin x = \frac{1}{{2\log 7(\cos x)}}\).

Теперь перейдем ко второй части вашего вопроса: определите значения \(x\), при которых выражение равно нулю в интервале \([-5\pi; -\frac{7\pi}{2}]\).

Для этого, подставим значения \(x\) в интервал и найдем значения, при которых \(2\sin^2 x - \sin x/\log 7(\cos x) = 0\). После того как найдены такие значения \(x\), которые удовлетворяют этому условию, полученные значения \(x\) будут ответами на задачу.

Ответ: Решение уравнения \(2\sin^2 x - \sin x/\log 7(\cos x) = 0\) состоит из двух частных случаев. В первом случае, когда \(\sin x = 0\), получаем \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число. Во втором случае, когда \(\sin x \neq 0\), получаем \(\sin x = \frac{1}{{2\log 7(\cos x)}}\) и необходимо найти значения \(x\), при которых это равенство выполняется в интервале \([-5\pi; -\frac{7\pi}{2}]\). Для этого следует подставить значения \(x\) из этого интервала в \(\sin x = \frac{1}{{2\log 7(\cos x)}}\) и найти соответствующие значения \(x\).