А) Найдите решение уравнения: 8sin⁴x+10sin²x-3=0. б) Найдите все значения x, которые являются корнями этого уравнения

Звонкий_Эльф

21

Хорошо, давайте рассмотрим задачу.

а) Найдите решение уравнения: \(8\sin^4x + 10\sin^2x - 3 = 0\).

Для начала, заметим, что данное уравнение является квадратным относительно \(\sin^2x\). Обозначим \(\sin^2x\) за \(t\), и уравнение примет вид:

\[8t^2 + 10t - 3 = 0.\]

Чтобы решить данное квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта.

Дискриминант \(D\) можно вычислить по формуле:

\[D = b^2 - 4ac,\]

где в нашем случае \(a = 8\), \(b = 10\), и \(c = -3\).

Подставим значения и рассчитаем:

\[D = (10)^2 - 4 \cdot (8) \cdot (-3) = 100 + 96 = 196.\]

Теперь найдем значения \(t\) с помощью формулы:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставим значения и рассчитаем:

\[t_1 = \frac{-10 + \sqrt{196}}{2 \cdot 8} = \frac{-10 + 14}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4},\]

\[t_2 = \frac{-10 - \sqrt{196}}{2 \cdot 8} = \frac{-10 - 14}{16} = \frac{-24}{16} = -\frac{3}{2}.\]

Теперь найдем значения \(\sin^2x\):

\[t_1 = \sin^2x = \frac{1}{4}.\]

Чтобы найти значения \(\sin x\), возьмем квадратные корни из обоих строн:

\[\sin x_1 = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2},\]

\[\sin x_2 = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}.\]

Таким образом, у нас есть два значения \(\sin x\), которые являются решениями уравнения: \(\sin x_1 = \frac{1}{2}\) и \(\sin x_2 = -\frac{1}{2}\).

б) Найдите все значения \(x\), которые являются корнями этого уравнения и принадлежат промежутку \([-7\pi/2, -4\pi]\).

Чтобы найти все значения \(x\) в данном промежутке, которые являются корнями уравнения, мы должны использовать обратную функцию синуса, обозначенную как \(\arcsin\).

Поскольку \(\sin x_1 = \frac{1}{2}\), находим первое значение \(x\) следующим образом:

\[x_1 = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right).\]

Используя таблицу значений или калькулятор, находим:

\[x_1 = \frac{\pi}{6}.\]

Теперь рассмотрим второе значение:

\[\sin x_2 = -\frac{1}{2}.\]

Находим второе значение \(x\):

\[x_2 = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right).\]

Снова используем таблицу значений или калькулятор:

\[x_2 = -\frac{7\pi}{6}.\]

Таким образом, в промежутке \([-7\pi/2, -4\pi]\) имеем два значения, являющихся корнями уравнения: \(x_1 = \frac{\pi}{6}\) и \(x_2 = -\frac{7\pi}{6}\).

Надеюсь, обоснование и пошаговое решение помогли вам понять задачу! Если у вас возникнут ещё какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.