а) Найдите значение выражения: корень третьей степени из (27 а^5/b^2) * корень третьей степени из (а*b^11/8

Milochka

44

Да, конечно! Давайте начнем с задачи (а).

а) Мы должны найти значение выражения:

\(\sqrt[3]{\frac{27a^5}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{ab^{11}}{8}}\).

Для начала, давайте упростим оба корня третьей степени:

\(\sqrt[3]{\frac{27a^5}{b^2}} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{\frac{a^5}{b^2}} = 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{a^5}{b^2}}\)

и

\(\sqrt[3]{\frac{ab^{11}}{8}} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{\frac{b^{11}}{8}} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{\frac{b^9}{8}} \cdot \sqrt[3]{\frac{b^2}{b^2}} = \sqrt[3]{a} \cdot \frac{b^3}{2}\).

Теперь мы можем объединить два корня третьей степени:

\(3 \cdot \sqrt[3]{\frac{a^5}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \frac{b^3}{2} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt[3]{a^6 \cdot b} \cdot b^3\).

Таким образом, значение исходного выражения равно \(\frac{3}{2} \cdot \sqrt[3]{a^6 \cdot b} \cdot b^3\).

б) Теперь рассмотрим задачу (б).

Мы должны вычислить значение выражения:

\(\sqrt[4]{b} : \sqrt[3]{b} \cdot \sqrt{\sqrt{b^{12}}}\).

Для начала, разделим корни:

\(\sqrt[4]{b} : \sqrt[3]{b} = \sqrt[4]{b} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[4]{b} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b^2}} = \sqrt[4]{b} \cdot \frac{\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b^3}}\).

Затем, возведем корень в корень:

\(\sqrt{\sqrt{b^{12}}} = \sqrt{b^{12 \cdot \frac{1}{2}}} = \sqrt{b^6} = b^3\).

Теперь мы можем объединить все части выражения:

\(\sqrt[4]{b} \cdot \frac{\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b^3}} \cdot b^3 = \sqrt[4]{b} \cdot \sqrt[3]{b} \cdot b^3 = \sqrt[12]{b^4} \cdot \sqrt[12]{b^4} \cdot b^3 = b \cdot b \cdot b^3\)

и в конечном итоге получаем \(b^6\).

Таким образом, значение данного выражения равно \(b^6\).