а) Найти остальные углы трапеции, если меньшее основание равно другой боковой стороне. б) Определить значения остальных

Яхонт

44

a) Для решения этой задачи мы должны использовать свойства трапеции.

В трапеции с двумя параллельными основаниями, сумма углов на одной стороне от основания равна 180 градусов. У нас есть два основания и одна из боковых сторон равна меньшему основанию.

Пусть меньшее основание равно \(a\), а другая боковая сторона, равная ему, равна \(b\). Обозначим углы трапеции через \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) соответственно.

Основание и соответствующая боковая сторона образуют пары вертикально противоположных углов. Поэтому угол \(A\) противоположен углу \(C\), а угол \(B\) противоположен углу \(D\).

Так как сумма углов на одной стороне от основания равна 180 градусов, мы можем записать уравнение:

\[A + C = 180\]

Также, угол \(A\) и \(D\) противоположны друг другу, а угол \(B\) и \(C\) также противоположны друг другу. Поэтому мы можем записать уравнение:

\[A + D = 180\]
\[B + C = 180\]

Так как мы знаем, что углы трапеции, суммируются до 360 градусов, мы также можем написать уравнение:

\[A + B + C + D = 360\]

Теперь, используя факт, что меньшее основание равно другой боковой стороне (\(a = b\)), мы можем продолжить решение.

Из предыдущих уравнений мы выводим:

\[A + C = 180\]
\[A + D = 180\]
\[B + C = 180\]
\[A + B + C + D = 360\]

Так как \(A = C\) и \(B = D\) (так как углы противоположны), мы можем записать:

\[A + A = 180\]
\[A + A = 180\]
\[B + B = 180\]
\[A + B + A + B = 360\]

Таким образом, получаем:

\[2A = 180\]
\[2A = 180\]
\[2B = 180\]
\[2A + 2B = 360\]

Решим уравнения:

\[2A = 180\]
\[A = 180/2\]
\[A = 90\]

\[2B = 180\]
\[B = 180/2\]
\[B = 90\]

Таким образом, остальные углы трапеции равны 90 градусов.

b) В данном случае, также имеем меньшее основание равное другой боковой стороне (\(a = b\)). Задача сводится к тому же набору уравнений:

\[A + C = 180\]
\[A + D = 180\]
\[B + C = 180\]
\[A + B + C + D = 360\]

Так как \(A = C\) и \(B = D\), мы можем записать:

\[A + A = 180\]
\[A + A = 180\]
\[B + B = 180\]
\[A + B + A + B = 360\]

Решим уравнения:

\[2A = 180\]
\[A = 180/2\]
\[A = 90\]

\[2B = 180\]
\[B = 180/2\]
\[B = 90\]

Таким образом, значения остальных углов трапеции также равны 90 градусов.

в) Если меньшее основание трапеции равно другой боковой стороне (\(a = b\)), то у нас будет следующий набор уравнений:

\[A + C = 180\]
\[A + D = 180\]
\[B + C = 180\]
\[A + B + C + D = 360\]

Из \(A + C = 180\) следует \(A = 180 - C\), а из \(B + C = 180\) следует \(B = 180 - C\). Подставим эти значения в уравнение \(A + B + C + D = 360\):

\[(180 - C) + (180 - C) + C + D = 360\]

Упростим:

\[360 - 2C + C + D = 360\]
\[D - C = 0\]
\[D = C\]

Таким образом, значения остальных углов трапеции равны \(C\) и \(D\).

с) В данном случае, также имеем \(a = b\). Мы имеем следующий набор уравнений:

\[A + C = 180\]
\[A + D = 180\]
\[B + C = 180\]
\[A + B + C + D = 360\]

Из \(A + C = 180\) следует \(A = 180 - C\), а из \(B + C = 180\) следует \(B = 180 - C\). Подставим эти значения в уравнение \(A + B + C + D = 360\):

\[(180 - C) + (180 - C) + C + D = 360\]

Упростим:

\[360 - 2C + C + D = 360\]
\[D - C = 0\]
\[D = C\]

Таким образом, значения остальных углов трапеции равны \(C\) и \(D\).

d) В данном случае также имеем \(a = b\). Задача сводится к следующему набору уравнений:

\[A + C = 180\]
\[A + D = 180\]
\[B + C = 180\]
\[A + B + C + D = 360\]

Из \(A + C = 180\) следует \(A = 180 - C\), а из \(B + C = 180\) следует \(B = 180 - C\). Подставим эти значения в уравнение \(A + B + C + D = 360\):

\[(180 - C) + (180 - C) + C + D = 360\]

Упростим:

\[360 - 2C + C + D = 360\]
\[D - C = 0\]
\[D = C\]

Таким образом, значения остальных углов трапеции равны \(C\) и \(D\).