а) Определите, является ли функция f(x) = sin^2/x^2-1 четной или нечетной. б) Определите, является ли функция f(x

Белка

51

Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности и определим, является ли она четной или нечетной.

а) Для определения четности или нечетности функции f(x) = \(\frac{{\sin^2 x}}{{x^2 - 1}}\), нам необходимо проверить выполнение условия f(-x) = f(x) для любого x из области определения функции.

Для начала, вычислим f(-x):

\[f(-x) = \frac{{\sin^2 (-x)}}{{(-x)^2 - 1}} = \frac{{\sin^2 (-x)}}{{x^2 - 1}}\]

После этого, проверим, равна ли полученная функция f(-x) функции f(x):

\[f(-x) = \frac{{\sin^2 (-x)}}{{x^2 - 1}} \stackrel{?}{=} f(x) = \frac{{\sin^2 x}}{{x^2 - 1}}\]

Теперь рассмотрим \(\sin^2 (-x)\). Помним, что \(\sin(-x) = -\sin(x)\), и поэтому \(\sin^2 (-x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2 x\).

Подставим это значение обратно в уравнение:

\[f(-x) = \frac{{\sin^2 x}}{{x^2 - 1}} \stackrel{?}{=} f(x) = \frac{{\sin^2 x}}{{x^2 - 1}}\]

Таким образом, мы видим, что f(-x) всегда равно f(x) для данной функции, что означает, что функция f(x) = \(\frac{{\sin^2 x}}{{x^2 - 1}}\) является четной.

б) Перейдем к анализу функции f(x) = \(\frac{{\cos x^3}}{{x(25 - x^2)}}\). Аналогично предыдущему примеру, проверим выполнение условия f(-x) = f(x) для любого x из области определения функции.

Вычислим f(-x):

\[f(-x) = \frac{{\cos (-x)^3}}{{(-x)(25 - (-x)^2)}} = \frac{{\cos (-x)^3}}{{-x(25 - x^2)}}\]

Проверим, равна ли функция f(-x) функции f(x):

\[f(-x) = \frac{{\cos (-x)^3}}{{-x(25 - x^2)}} \stackrel{?}{=} f(x) = \frac{{\cos x^3}}{{x(25 - x^2)}}\]

Заметим, что \(\cos(-x) = \cos x\), и поэтому \(\cos (-x)^3 = (\cos x)^3\).

Выполнив подстановку, получим:

\[f(-x) = \frac{{(\cos x)^3}}{{-x(25 - x^2)}} \stackrel{?}{=} f(x) = \frac{{\cos x^3}}{{x(25 - x^2)}}\]

Таким образом, мы видим, что f(-x) не равно f(x) для данной функции, что означает, что функция f(x) = \(\frac{{\cos x^3}}{{x(25 - x^2)}}\) не является ни четной, ни нечетной.

в) Перейдем к анализу функции f(x) = \(x^5\cos(3x)\). Еще раз проверим условие f(-x) = f(x) для любого x из области определения функции.

Вычислим f(-x):

\[f(-x) = (-x)^5\cos(3(-x)) = -x^5\cos(3x)\]

Проверим, равна ли функция f(-x) функции f(x):

\[f(-x) = -x^5\cos(3x) \stackrel{?}{=} f(x) = x^5\cos(3x)\]

Мы видим, что f(-x) не равно f(x) для данной функции, а именно f(-x) = -f(x). Это значит, что функция f(x) = \(x^5\cos(3x)\) является нечетной.

г) Наконец, рассмотрим функцию f(x) = \((4 + \cos x)(\sin^6 x - 1)\). Еще раз проверим условие f(-x) = f(x) для любого x из области определения функции.

Вычислим f(-x):

\[f(-x) = (4 + \cos(-x))(\sin^6(-x) - 1) = (4 + \cos x)(-\sin^6 x - 1)\]

Проверим, равна ли функция f(-x) функции f(x):

\[f(-x) = (4 + \cos x)(-\sin^6 x - 1) \stackrel{?}{=} f(x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x - 1)\]

Заметим, что (-sin(x))^6 = -sin^6(x).

Выполнив подстановку, получим:

\[f(-x) = (4 + \cos x)(-\sin^6 x - 1) \stackrel{?}{=} f(x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x - 1)\]

Мы видим, что f(-x) всегда равно f(x) для данной функции, что означает, что функция f(x) = \((4 + \cos x)(\sin^6 x - 1)\) является четной.