Найдите значение n, если сумма первых n членов геометрической прогрессии равна 2912, первый член равен 8, а знаменатель

Vecherniy_Tuman

20

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии. Формула имеет вид:

$$S_n=a\cdot {\displaystyle \frac{1-r^n}{1-r}}$$

Где $S_n$ - сумма первых n членов геометрической прогрессии, $a$ - первый член прогрессии, $r$ - знаменатель прогрессии, $n$ - количество членов прогрессии.

В данной задаче известно, что $S_n=2912$, $a=8$, и $r$ - неизвестное значение. Нам нужно найти значение $n$.

Подставим известные значения в формулу:

$$2912=8\cdot {\displaystyle \frac{1-r^n}{1-r}}$$

Теперь нам нужно разрешить уравнение относительно неизвестного $n$. Для этого выполним последующие шаги решения постепенно:

$$(1-r^n)={\displaystyle \frac{2912}{8}}\cdot (1-r)$$

$$(1-r^n)=364\cdot (1-r)$$

Теперь продолжим решение:

$$1-r^n=364-364r$$

$$r^n=363-364r$$

Заметим, что $r^n$ и $364r$ являются членами прогрессии, поэтому мы можем разделить их:

$${\displaystyle \frac{r^n}{r}}={\displaystyle \frac{363-364r}{r}}$$

$$r^{n-1}={\displaystyle \frac{363}{r}}-364$$

Введем новую переменную $x=r^{n-1}$, чтобы упростить уравнение:

$$x={\displaystyle \frac{363}{r}}-364$$

Теперь мы можем решить уравнение для $x$:

$$x+364={\displaystyle \frac{363}{r}}$$

$${\displaystyle \frac{363}{x+364}}=r$$

Мы получили выражение для $r$ через $x$. Теперь, зная $r$, мы можем найти $n$ с помощью логарифма:

$$x=r^{n-1}$$

$${\log }_r(x)=n-1$$

$$n={\log }_r(x)+1$$

Таким образом, мы получили окончательный результат. Остается только подставить значение $x={\displaystyle \frac{363}{x+364}}$, вычислить $r$ из этого выражения и затем вычислить $n$ с помощью формулы $n={\log }_r(x)+1$.