Найдите значение n, если сумма первых n членов геометрической прогрессии равна 2912, первый член равен 8, а знаменатель

Vecherniy_Tuman

20

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии. Формула имеет вид:

\[S_n = a \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r}\]

Где \(S_n\) - сумма первых n членов геометрической прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии.

В данной задаче известно, что \(S_n = 2912\), \(a = 8\), и \(r\) - неизвестное значение. Нам нужно найти значение \(n\).

Подставим известные значения в формулу:

\[2912 = 8 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r}\]

Теперь нам нужно разрешить уравнение относительно неизвестного \(n\). Для этого выполним последующие шаги решения постепенно:

\[(1 - r^n) = \dfrac{2912}{8} \cdot (1 - r)\]

\[(1 - r^n) = 364 \cdot (1 - r)\]

Теперь продолжим решение:

\[1 - r^n = 364 - 364r\]

\[r^n = 363 - 364r\]

Заметим, что \(r^n\) и \(364r\) являются членами прогрессии, поэтому мы можем разделить их:

\[\dfrac{r^n}{r} = \dfrac{363 - 364r}{r}\]

\[r^{n-1} = \dfrac{363}{r} - 364\]

Введем новую переменную \(x = r^{n-1}\), чтобы упростить уравнение:

\[x = \dfrac{363}{r} - 364\]

Теперь мы можем решить уравнение для \(x\):

\[x + 364 = \dfrac{363}{r}\]

\[\dfrac{363}{x + 364} = r\]

Мы получили выражение для \(r\) через \(x\). Теперь, зная \(r\), мы можем найти \(n\) с помощью логарифма:

\[x = r^{n-1}\]

\[\log_r (x) = n-1\]

\[n = \log_r (x) + 1\]

Таким образом, мы получили окончательный результат. Остается только подставить значение \(x = \dfrac{363}{x + 364}\), вычислить \(r\) из этого выражения и затем вычислить \(n\) с помощью формулы \(n = \log_r (x) + 1\).