а) Переформулируйте выражение для векторов mn и kb с использованием векторов а и b. б) Переформулируйте утверждение

Yabloko

8

а) Для переформулирования выражения для векторов mn и kb с использованием векторов а и b, мы можем вспомнить основные свойства векторов. Вектор mn можно выразить как разность векторов m и n:

\(\vec{mn} = \vec{m} - \vec{n}\)

Аналогично, вектор kb можно представить как произведение вектора b на скаляр k:

\(\vec{kb} = k \cdot \vec{b}\)

Теперь мы можем переформулировать выражение для векторов mn и kb с использованием векторов а и b:

\(\vec{mn} = \vec{m} - \vec{n} = \vec{a} - \vec{b}\)

\(\vec{kb} = k \cdot \vec{b} = k \cdot (\vec{a} - \vec{b})\)

б) Для переформулирования утверждения о точке е, лежащей на прямой nl, используя векторное доказательство, основанное на векторах, мы можем использовать свойство коллинеарности векторов.

Утверждение гласит, что точка е лежит на прямой nl. Это означает, что вектор ne коллинеарен вектору nl. Если два вектора коллинеарны, то они можно выразить через скалярное произведение.

Таким образом, можно переформулировать утверждение следующим образом:

\(\vec{ne} \parallel \vec{nl}\)

Теперь, применяя свойство коллинеарности и скалярное произведение, докажем это векторное утверждение.

Пусть \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) - векторы, направленные вдоль прямой nl, и точка m - произвольная точка на этой прямой. Тогда мы можем записать векторы \(\vec{ne}\) и \(\vec{nm}\) как разности этих векторов:

\(\vec{ne} = \vec{nm} - \vec{me}\)

\(\vec{nl} = \vec{nm} - \vec{ml}\)

Теперь применим определение коллинеарности векторов. Если два вектора коллинеарны, то их координатные соотношения пропорциональны. То есть, для коллинеарности векторов \(\vec{ne}\) и \(\vec{nl}\), должно выполняться:

\(\frac{{\vec{ne_x}}}{{\vec{nl_x}}} = \frac{{\vec{ne_y}}}{{\vec{nl_y}}} = \frac{{\vec{ne_z}}}{{\vec{nl_z}}}\)

Из векторных уравнений выше мы можем выразить векторы \(\vec{me}\) и \(\vec{ml}\) через векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\(\vec{me} = \vec{ne} - \vec{nm} = \vec{a} - \vec{b}\)

\(\vec{ml} = \vec{nl} - \vec{nm} = \vec{a} - \vec{b}\)

Подставив эти значения, получим:

\(\frac{{\vec{ne_x}}}{{\vec{nl_x}}} = \frac{{\vec{a_x} - \vec{b_x}}}{{\vec{a_x} - \vec{b_x}}} = 1\)

\(\frac{{\vec{ne_y}}}{{\vec{nl_y}}} = \frac{{\vec{a_y} - \vec{b_y}}}{{\vec{a_y} - \vec{b_y}}} = 1\)

\(\frac{{\vec{ne_z}}}{{\vec{nl_z}}} = \frac{{\vec{a_z} - \vec{b_z}}}{{\vec{a_z} - \vec{b_z}}} = 1\)

Таким образом, мы доказали, что \(\vec{ne}\) и \(\vec{nl}\) коллинеарны, что соответствует утверждению о том, что точка е лежит на прямой nl, используя векторное доказательство.