а) Покажите, что умножение длин отрезков ab и bn равно умножению длин отрезков cb и bm. б) Найдите длину отрезка

Radio_5136

7

10 см.

Решение:

а) Для доказательства равенства умножений длин отрезков ab и bn и cb и bm, воспользуемся теоремой подобных треугольников.

Заметим, что треугольники амс и сbn подобны, так как у них имеются два соответствующих равных угла. Таким образом, соотношение длин сторон этих треугольников равно соотношению соответствующих сторон:

\(\frac{am}{cb} = \frac{ac}{bn}\)

Подставим значения из условия задачи: \(am = 6\) см, \(cb = 10\) см и \(ac = 8\) см:

\(\frac{6}{10} = \frac{8}{bn}\)

Упростим уравнение, умножив обе его части на \(10\) и деля обе части на \(\frac{6}{10}\):

\(1 = \frac{8 \times 10}{6}\)

Раскроем скобки и упростим:

\(1 = \frac{80}{6}\)

Далее, чтобы доказать равенство умножений длин отрезков ab и bn и cb и bm, нам остается только убедиться, что:

\(ab = \frac{80}{6}\) и \(cb = 10\)

Теперь заметим, что треугольники abm и cnm также подобны, так как у них также имеются два соответствующих равных угла. Таким образом, соотношение длин сторон этих треугольников равно соотношению соответствующих сторон:

\(\frac{ab}{cb} = \frac{am}{cn}\)

Подставим значения, полученные ранее: \(ab = \frac{80}{6}\), \(cb = 10\) и \(am = 6\):

\(\frac{\frac{80}{6}}{10} = \frac{6}{cn}\)

Далее, чтобы найти длину отрезка mn, нам остается лишь решить это уравнение относительно cn:

\(\frac{\frac{80}{6}}{10} = \frac{6}{cn}\)

Упростим уравнение, умножив обе его части на \(10\) и деля обе части на \(\frac{6}{cn}\):

\(\frac{80}{6} = \frac{10 \times 6}{cn}\)

Раскроем скобки и упростим:

\(\frac{80}{6} = \frac{60}{cn}\)

Далее, чтобы найти длину отрезка mn, нам остается только убедиться, что:

\(cn = \frac{60}{\frac{80}{6}}\)

Раскроем скобки и упростим:

\(cn = \frac{60 \times 6}{80}\)

Выполним вычисления:

\(cn = \frac{360}{80}\)

\(cn = \frac{9}{2}\)

Ответ: длина отрезка mn равна \(\frac{9}{2}\) см.