а) Посчитайте результат w = 2z1/z2 + z1, где z1* - комплексное сопряженное число z1. Запишите ответ в алгебраической

Yakorica

69

Конечно, давайте разберем каждую часть задачи по очереди:

а) Для начала нам нужно выразить \(z_1^*\) через комплексное число \(z_1\). Комплексно-сопряженное число представляет собой число, в котором мнимая часть меняет знак. То есть, если \(z_1 = a + bi\), то \(z_1^* = a - bi\).

Итак, пусть \(z_1 = a + bi\) и \(z_2 = c + di\), где \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) - действительные числа.

Теперь подставим в формулу \(w = \frac{2z_1}{z_2} + z_1\) значения \(z_1\) и \(z_2\) в алгебраической форме:

\[w = \frac{2(a + bi)}{c + di} + (a + bi) = \frac{2a + 2bi}{c + di} + a + bi\]

Для удобства дальнейшего вычисления, давайте приведем дробь к общему знаменателю:

\[w = \frac{(2a + 2bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} + \frac{a(c + di)}{c + di} + bi = \frac{2ac + 2adi + 2bci - 2bd}{c^2 + d^2} + \frac{ac + adi + bci - bd}{c^2 + d^2}\]

Теперь сложим дроби:

\[w = \frac{2ac + 3adi + 2bci - 3bd}{c^2 + d^2} = \frac{2ac - 3bd + (3ad + 2bc)i}{c^2 + d^2}\]

Получили ответ в алгебраической форме: \(w = \frac{2ac - 3bd + (3ad + 2bc)i}{c^2 + d^2}\).

б) Для нахождения модуля числа \(w\) воспользуемся формулой модуля комплексного числа: \(|w| = \sqrt{Re(w)^2 + Im(w)^2}\), где \(Re(w)\) - действительная часть числа \(w\), \(Im(w)\) - мнимая часть числа \(w\).

Из выведенного выше выражения для \(w\) видно, что действительная часть \(Re(w) = \frac{2ac - 3bd}{c^2 + d^2}\) и мнимая часть \(Im(w) = \frac{3ad + 2bc}{c^2 + d^2}\).

Подставим значения в формулу модуля:

\[|w| = \sqrt{\left(\frac{2ac - 3bd}{c^2 + d^2}\right)^2 + \left(\frac{3ad + 2bc}{c^2 + d^2}\right)^2}\]

\[|w| = \sqrt{\frac{4a^2c^2 - 12abcd + 9b^2d^2 + 9a^2d^2 + 12abcd + 4b^2c^2}{(c^2 + d^2)^2}}\]

\[|w| = \sqrt{\frac{4a^2c^2 - 12abcd + 9b^2d^2 + 9a^2d^2 + 12abcd + 4b^2c^2}{c^4 + 2c^2d^2 + d^4}}\]

\[|w| = \sqrt{\frac{4a^2c^2 + 4b^2c^2 + 9a^2d^2 + 9b^2d^2}{c^2 + d^2}}\]

Таким образом, модуль числа \(w\) равен \[|w| = \sqrt{\frac{4(a^2 + b^2)c^2 + 9(a^2 + b^2)d^2}{c^2 + d^2}}\].