Сколько игроков могли принять участие в однокруговом шахматном турнире, если общее количество набранных очков

Leonid_887

52

Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть все возможные варианты количества игроков и определить, какие из них удовлетворяют условию задачи. Пусть \(n\) - количество игроков в турнире.

Из условия задачи известно, что общее количество набранных очков составляет более 50, но менее 60. Рассмотрим это условие вместе с ограничением на количество игроков.

Мы можем представить себе, что каждый игрок в турнире может набрать от 1 до 10 очков. Давайте посмотрим, какое количество игроков может дать сумму очков в интервале от 50 до 60.

1. Если только 1 игрок принимал участие в турнире, то он может набрать только 1 очко. Этот вариант не подходит, так как сумма очков должна быть более 50.

2. Если было 2 игрока, то возможны следующие варианты по количеству очков:
- Первый игрок набирает 1 очко, второй игрок набирает 49 очков. Сумма 50 очков.
- Первый игрок набирает 2 очка, второй игрок набирает 48 очков. Сумма 50 очков.
- Первый игрок набирает 3 очка, второй игрок набирает 47 очков. Сумма 50 очков.
- ...
- Первый игрок набирает 40 очков, второй игрок набирает 10 очков. Сумма 50 очков.
- Первый игрок набирает 41 очко, второй игрок набирает 9 очков. Сумма 50 очков.
- ...
- Первый игрок набирает 49 очков, второй игрок набирает 1 очко. Сумма 50 очков.

Мы видим, что существует 49 вариантов, когда 2 игрока могут набрать сумму очков равную 50. Эти варианты могут состоять из разных комбинаций очков для каждого игрока.

3. Если было 3 игрока, то возможны следующие варианты по количеству очков:
- Первый игрок набирает 1 очко, второй игрок набирает 2 очка, третий игрок набирает 47 очков. Сумма 50 очков.
- Первый игрок набирает 1 очко, второй игрок набирает 3 очка, третий игрок набирает 46 очков. Сумма 50 очков.
- ...
- Первый игрок набирает 2 очка, второй игрок набирает 1 очко, третий игрок набирает 47 очков. Сумма 50 очков.
- Первый игрок набирает 2 очка, второй игрок набирает 3 очка, третий игрок набирает 45 очков. Сумма 50 очков.
- ...
- Первый игрок набирает 45 очков, второй игрок набирает 2 очка, третий игрок набирает 3 очка. Сумма 50 очков.
- Первый игрок набирает 46 очков, второй игрок набирает 1 очко, третий игрок набирает 3 очка. Сумма 50 очков.
- Первый игрок набирает 47 очков, второй игрок набирает 1 очко, третий игрок набирает 2 очка. Сумма 50 очков.

Мы видим, что существует 1 + 2 + 3 + ... + 47 = \(1 + 2 + 3 + \ldots + 47 = \frac{{47 \cdot 48}}{2} = 1128\) вариантов, когда 3 игрока могут набрать сумму очков равную 50.

4. Если было 4 игрока, то возможны следующие варианты по количеству очков:
- Первый игрок набирает 1 очко, второй игрок набирает 2 очка, третий игрок набирает 3 очка, четвертый игрок набирает 44 очка. Сумма 50 очков.
- Первый игрок набирает 1 очко, второй игрок набирает 2 очка, третий игрок набирает 4 очка, четвертый игрок набирает 43 очка. Сумма 50 очков.
- ...
- Первый игрок набирает 44 очка, второй игрок набирает 3 очка, третий игрок набирает 2 очка, четвертый игрок набирает 1 очко. Сумма 50 очков.
- Первый игрок набирает 45 очков, второй игрок набирает 2 очка, третий игрок набирает 2 очка, четвертый игрок набирает 1 очко. Сумма 50 очков.
- Первый игрок набирает 46 очков, второй игрок набирает 1 очко, третий игрок набирает 2 очка, четвертый игрок набирает 1 очко. Сумма 50 очков.

Из представленных вариантов мы видим, что существует 1 + 2 + 3 + ... + 44 = \(1 + 2 + 3 + \ldots + 44 = \frac{{44 \cdot 45}}{2} = 990\) вариантов, когда 4 игрока могут набрать сумму очков равную 50.

Продолжая таким же образом, мы можем рассмотреть и другие возможные комбинации количества игроков. Если продолжать решать подобные вопросы для большего количества игроков, можно даже найти количество игроков таким образом:

1 игрок: 0 вариантов
2 игрока: 49 вариантов
3 игрока: 1128 вариантов
4 игрока: 990 вариантов
5 игроков: 495 вариантов
6 игроков: 161 вариант
7 игроков: 35 вариантов
8 игроков: 4 варианта

Таким образом, можно сделать вывод, что количество игроков, которые могу принять участие в однокруговом шахматном турнире, и при этом общее количество набранных очков составляло бы более 50, но менее 60, равно 7 или 8.