а) Постройте многочлен третьей степени, у которого корнями являются числа 1, 2 и -3; б) Создайте многочлен 3-й степени

Картофельный_Волк

47

a) Для построения многочлена третьей степени, у которого корнями являются числа 1, 2 и -3, мы можем использовать следующую формулу: \((x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\), где \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) - корни многочлена.

Таким образом, многочлен будет иметь вид \((x - 1)(x - 2)(x + 3)\). Далее умножаем эти множители:
\[(x - 1)(x - 2)(x + 3) = (x^2 - 3x + 2)(x + 3) = (x^2 - 3x + 2)(x) + 3(x^2 - 3x + 2) = x^3 - 3x^2 + 2x + 3x^2 - 9x + 6 = \boxed{x^3 - 6x + 6}\]

б) Для создания многочлена 3-й степени с корнями 0, -1 и 1, мы можем использовать те же шаги. Многочлен будет иметь вид \((x - 0)(x + 1)(x - 1) = x(x + 1)(x - 1)\). Умножаем множители:
\[x(x + 1)(x - 1) = x(x^2 - 1) = x^3 - x\]

Таким образом, многочлен 3-й степени с корнями 0, -1 и 1 равен \(\boxed{x^3 - x}\).

в) Уравнение многочлена 3-ей степени, корнями которого являются -2, 1 и 4, можно записать в виде \((x + 2)(x - 1)(x - 4)\). Умножаем множители:
\[(x + 2)(x - 1)(x - 4) = (x^2 + x - 2)(x - 4) = x^3 + x^2 - 2x - 4x^2 - 4x + 8 = \boxed{x^3 - 3x^2 - 6x + 8}\]

г) Найдем многочлен третьей степени с корнями -1, 2. Используем формулу \((x + 1)(x - 2)\) и умножаем множители:
\[(x + 1)(x - 2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2\]
Поэтому многочлен третьей степени с корнями -1, 2 имеет вид: \(\boxed{x^3 - x^2 - 2}\).