а) Постройте точки zn(n = 1, 2, 3, 4, 5) на координатной плоскости, если zx - -5 - 3i, z2 = 1 + 6i, z3 = -3 - 6i

Pugayuschiy_Dinozavr_7193

44

а) Для построения точек \(z_n\) на координатной плоскости, нам даны следующие значения:

\[z_1 = -5 - 3i\]
\[z_2 = 1 + 6i\]
\[z_3 = -3 - 6i\]
\[z_4 = 9 + 2i\]
\[z_5 = 1 - 6i\]

Чтобы изобразить эти точки, необходимо использовать декартову систему координат, где действительная часть комплексного числа отображается на горизонтальной оси (ось x), а мнимая часть - на вертикальной оси (ось y).

Итак, для каждого \(z_n\) построим его координаты на плоскости:

Для \(z_1\) с координатами (-5, -3), нарисуем точку на плоскости.

Для \(z_2\) с координатами (1, 6), нарисуем точку на плоскости.

Для \(z_3\) с координатами (-3, -6), нарисуем точку на плоскости.

Для \(z_4\) с координатами (9, 2), нарисуем точку на плоскости.

Для \(z_5\) с координатами (1, -6), нарисуем точку на плоскости.

б) Теперь, чтобы соединить эти точки последовательными линиями и определить количество чисто мнимых чисел на полученной ломаной, давайте проследим за перемещением по линии.

Линия будет проходить через точки \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\), \(z_4\) и \(z_5\).

Когда две точки на линии имеют мнимую часть, не равную нулю, то это число является чисто мнимым числом.

Проследим за этим:

Между \(z_1\) и \(z_2\) мнимая часть не равна нулю, значит, число \(z_2\) является чисто мнимым числом.

Между \(z_2\) и \(z_3\) мнимая часть также не равна нулю, значит, число \(z_3\) также является чисто мнимым числом.

Между \(z_3\) и \(z_4\) мнимая часть равна нулю, поэтому число \(z_4\) не является чисто мнимым числом.

Между \(z_4\) и \(z_5\) мнимая часть не равна нулю, значит, число \(z_5\) является чисто мнимым числом.

Таким образом, на полученной ломаной находится 2 чисто мнимых числа: \(z_2\) и \(z_3\).

в) Чтобы определить, сколько чисел на этой ломаной имеют значение \(re\ z = -3\) и какие они, давайте рассмотрим каждую точку на ломаной.

\(z_1\) имеет значение \(re\ z = -5\), поэтому это число не подходит.

\(z_2\) имеет значение \(re\ z = 1\), поэтому это число не подходит.

\(z_3\) имеет значение \(re\ z = -3\), поэтому это число подходит.

\(z_4\) имеет значение \(re\ z = 9\), поэтому это число не подходит.

\(z_5\) имеет значение \(re\ z = 1\), поэтому это число не подходит.

Таким образом, только одно число на этой ломаной имеет значение \(re\ z = -3\), а именно, \(z_3\).

г) Чтобы определить, сколько чисел на ломаной имеют значение \(im\ z = -3\) и какие они, давайте рассмотрим каждую точку на ломаной.

\(z_1\) имеет значение \(im\ z = -3\), поэтому это число подходит.

\(z_2\) имеет значение \(im\ z = 6\), поэтому это число не подходит.

\(z_3\) имеет значение \(im\ z = -6\), поэтому это число не подходит.

\(z_4\) имеет значение \(im\ z = 2\), поэтому это число не подходит.

\(z_5\) имеет значение \(im\ z = -6\), поэтому это число подходит.

Итак, два числа на этой ломаной имеют значение \(im\ z = -3\), а именно, \(z_1\) и \(z_5\).

Теперь давайте построим график, чтобы визуально представить все эти точки и линии:

\[image\]