Какой интервал содержит корень уравнения log4 (4 – х ) + log4x?

Чайный_Дракон

15

Для начала решим уравнение \( \log_4(4-x) + \log_4x \). Мы знаем, что \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \), поэтому:

\[ \log_4(4-x) + \log_4x = \log_4 (4-x) \cdot x = \log_4 (4x - x^2) \]

Теперь нам нужно найти интервал, в котором это выражение будет положительным. Заметим, что логарифм определен только для положительных чисел, поэтому \( 4x - x^2 > 0 \).

Факторизуем это неравенство: \( x(4-x) > 0 \).

Теперь найдем корни этого неравенства. У нас есть два критических значения: \( x = 0 \) и \( x = 4 \).

Проверим интервалы между этими значениями на знак произведения \( x(4-x) \), чтобы понять, в каких интервалах неравенство выполняется.

1. При \( x < 0 \) имеем отрицательное значение
2. В интервале \( 0 < x < 4 \) имеем положительное значение
3. При \( x > 4 \) снова имеем отрицательное значение

Следовательно, искомый интервал, в котором \( \log_4(4-x) + \log_4x \) будет определено и положительно, это \( 0 < x < 4 \), т.е. корень уравнения содержится в интервале \( (0, 4) \).