a) повороте на 60∘, мы можем построить квадрат так, чтобы середины противоположных сторон принадлежали прямым ℓ1 и

Anatoliy

5

Y. В этой задаче нам нужно построить квадрат с определенными свойствами после поворота на 60∘ и 90∘. Давайте рассмотрим каждую часть по отдельности.

a) Когда квадрат поворачивается на 60∘, мы можем построить его так, чтобы середины противоположных сторон принадлежали прямым \( \ell_1 \) и \( \ell_2 \) и пересекались в точке X.

Для начала, давайте нарисуем произвольный квадрат ABCD.

\[
\begin{array}{c}
A \quad B \\
D \quad C \\
\end{array}
\]

Теперь мы хотим, чтобы середины противоположных сторон \(AB\) и \(CD\) принадлежали прямой \( \ell_1 \), а середины противоположных сторон \(AD\) и \(BC\) принадлежали прямой \( \ell_2 \). Пусть \(M\) будет серединной точкой стороны \(AB\) и \(N\) - серединной точкой стороны \(CD\). Также, пусть \(P\) будет серединной точкой стороны \(AD\) и \(Q\) - серединной точкой стороны \(BC\).

\[
\begin{array}{c}
A \quad M \quad B \\
P \quad X \quad Q \\
D \quad N \quad C \\
\end{array}
\]

Теперь, чтобы найти точку \(X\), которая является пересечением прямых \( \ell_1 \) и \( \ell_2 \), мы можем построить линию, проходящую через точки \(M\) и \(P\), а также линию, проходящую через точки \(N\) и \(Q\). Пересечение этих линий будет нашей искомой точкой \(X\).

b) Когда квадрат поворачивается на 90∘, мы можем построить его так, чтобы середины соседних сторон принадлежали прямым \( \ell_1 \) и \( \ell_2 \) и пересекались в точке Y.

Давайте начнем с того же произвольного квадрата ABCD.

\[
\begin{array}{c}
A \quad B \\
D \quad C \\
\end{array}
\]

Теперь мы хотим, чтобы середины соседних сторон \(AB\) и \(AD\) принадлежали прямой \( \ell_1 \), а середины соседних сторон \(BC\) и \(CD\) принадлежали прямой \( \ell_2 \). Пусть \(M\) будет серединной точкой стороны \(AB\) и \(P\) - серединной точкой стороны \(AD\). Также, пусть \(Q\) будет серединной точкой стороны \(BC\) и \(R\) - серединной точкой стороны \(CD\).

\[
\begin{array}{c}
M \quad B \quad Q \\
P \quad X \quad R \\
A \quad D \quad C \\
\end{array}
\]

Чтобы найти точку \(X\), которая является пересечением прямых \( \ell_1 \) и \( \ell_2 \), мы можем построить линию, проходящую через точки \(M\) и \(Q\), а также линию, проходящую через точки \(P\) и \(R\). Пересечение этих линий будет нашей искомой точкой \(X\).

Надеюсь, это помогло вам понять, как можно построить квадраты с заданными свойствами. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!