а) При каких значениях параметра с квадратное уравнение 5х²-4х+с=0 имеет два одинаковых рациональных корня? в) Найдите

Радуга

35

Давайте рассмотрим задачу по порядку.

а) Для того чтобы у квадратного уравнения $5x^2-4x+c=0$ было два одинаковых рациональных корня, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого уравнения был равен нулю. Дискриминант определяется формулой $D=b^2-4ac$, где $a$, $b$, и $c$ - это коэффициенты квадратного уравнения.

В нашем случае, $a=5$, $b=-4$ и $c=c$. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 5\cdot c=16-20c$$

Теперь приравняем $D$ к нулю и решим уравнение:

$$16-20c=0$$

$$20c=16$$

$$c=\frac{16}{20}$$

$$c=\frac{4}{5}$$

Таким образом, при значении параметра $c=\frac{4}{5}$ квадратное уравнение $5x^2-4x+\frac{4}{5}=0$ будет иметь два одинаковых рациональных корня.

в) Теперь нас просят найти рациональные корни уравнения $5x^2-4x+c=0$. Поскольку значение параметра $c$ не указано в задаче, мы можем использовать любое рациональное число для его значения.

Для простоты, давайте возьмем $c=0$. Подставим это значение в уравнение:

$$5x^2-4x+0=0$$

Теперь мы можем произвести факторизацию данного уравнения:

$$x(5x-4)=0$$

Таким образом, имеем два возможных рациональных корня: $x=0$ и $x=\frac{4}{5}$.

Итак, рациональные корни уравнения $5x^2-4x+c=0$ при $c=0$ равны $x=0$ и $x=\frac{4}{5}$.