Имеются два натуральных числа. Сумма квадратов этих чисел равна 832, а их произведение равно 384. Необходимо найти

Sverkayuschiy_Dzhentlmen_2400

50

Пусть первое число будет представлено как \(x\), а второе как \(y\). Тогда заданные условия можно записать следующим образом:

\[
\begin{align*}
x^2 + y^2 &= 832 \quad \text{(уравнение 1)} \\
xy &= 384 \quad \text{(уравнение 2)}
\end{align*}
\]

Для начала решим уравнение 2 относительно \(x\) или \(y\). Для этого можно выразить одну неизвестную через другую. Поделим оба выражения на \(y\):

\[
x = \frac{384}{y} \quad \text{(уравнение 3)}
\]

Теперь подставим уравнение 3 в уравнение 1:

\[
\left(\frac{384}{y}\right)^2 + y^2 = 832
\]

Упростим это уравнение:

\[
\frac{384^2}{y^2} + y^2 = 832
\]

Перемножим оба выражения на \(y^2\) чтобы избавиться от знаменателя:

\[
384^2 + y^4 = 832y^2
\]

Теперь это уравнение выглядит как квадратное уравнение относительно \(y^2\). Перенесем все члены в одну сторону и упростим:

\[
y^4 - 832y^2 + 384^2 = 0
\]

Это уравнение является квадратным по \(y^2\), так как его степень 4. Используя квадратное уравнение, найти \(y^2\) следующим образом:

\[
y^2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Где \(a = 1\), \(b = -832\) и \(c = 384^2\). Подставим значения и решим:

\[
y^2 = \frac{-(-832) \pm \sqrt{(-832)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 384^2}}{2 \cdot 1}
\]

\[
y^2 = \frac{832 \pm \sqrt{691,200 - 589,824}}{2}
\]

\[
y^2 = \frac{832 \pm \sqrt{101,376}}{2}
\]

\[
y^2 = \frac{832 \pm 318.47}{2}
\]

Разделим это на два случая: один для плюса и один для минуса:

Для плюса:

\[
y^2 = \frac{832 + 318.47}{2} = \frac{1,150.47}{2} = 575.24
\]

Для минуса:

\[
y^2 = \frac{832 - 318.47}{2} = \frac{513.53}{2} = 256.76
\]

Теперь найдем \(y\) путем извлечения квадратного корня из каждого значения \(y^2\):

Для плюса:

\[
y = \sqrt{575.24} \approx 23.97
\]

Для минуса:

\[
y = \sqrt{256.76} \approx 16.01
\]

Теперь, зная значения \(y\), мы можем найти соответствующие значения \(x\) с использованием уравнения 3:

Для плюса:

\[
x = \frac{384}{23.97} \approx 16.02
\]

Для минуса:

\[
x = \frac{384}{16.01} \approx 24.00
\]

Ответ: Первое число \(x\) может быть округленно до 16, а второе число \(y\) может быть округленно до 24.