А) Решить уравнение (3tg^2x-1) (cos x-π/3) =0. Б) Найти все корни, которые принадлежат промежутку [-7π/2;-2π

Музыкальный_Эльф

8

Давайте решим данное уравнение:

А) Для начала решим уравнение \((3\tan^2{x} - 1) \cdot (\cos{x} - \frac{\pi}{3}) = 0\) по отдельности, разделив его на два уравнения:

Уравнение 1: \(3\tan^2{x} - 1 = 0\)

Для решения этого уравнения, добавим 1 к обеим сторонам и поделим на 3:

\(\tan^2{x} = \frac{1}{3}\)

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\(\tan{x} = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}\)

Применим обратную тангенсную функцию к обеим сторонам:

\(x = \arctan(\pm \sqrt{\frac{1}{3}})\)

Таким образом, у нас есть два значения \(x\) в диапазоне от 0 до \(2\pi\). Учтите, что функция тангенса является периодической, поэтому мы можем добавить к каждому решению любое целое число умноженное на \(\pi\).

Уравнение 2: \(\cos{x} - \frac{\pi}{3} = 0\)

Добавим \(\frac{\pi}{3}\) ко второму слагаемому с обеих сторон:

\(\cos{x} = \frac{\pi}{3}\)

Теперь применим обратную косинусную функцию к обеим сторонам:

\(x = \arccos(\frac{\pi}{3})\)

Полученное значение \(x\) также находится в диапазоне от 0 до \(2\pi\).

Б) Теперь найдем все корни, которые принадлежат промежутку \([-7\pi/2; -2\pi]\).

Как мы ранее определили, значения \(x\) для уравнения 1 будут \(\arctan(\pm \sqrt{\frac{1}{3}})\) с добавлением любого целого числа, умноженного на \(\pi\).

Для уравнения 2, значение \(x\) равно \(\arccos(\frac{\pi}{3})\).

Теперь ограничимся данным промежутком \([-7\pi/2; -2\pi]\). Найдем значения \(x\) в этом диапазоне для уравнения 1:

\(\arctan(\pm \sqrt{\frac{1}{3}})\) + \(n\pi\), где \(n\) - целое число.

Мы также должны проверить, находятся ли значения в диапазоне \(\arccos(\frac{\pi}{3})\).

Таким образом, для уравнения 1 корни, соответствующие данному промежутку, будут:

\(\arctan(\sqrt{\frac{1}{3}}) + 2\pi, \arctan(-\sqrt{\frac{1}{3}}) + 2\pi, \arctan(\sqrt{\frac{1}{3}}) + \pi, \arctan(-\sqrt{\frac{1}{3}}) + \pi\)

Для уравнения 2, также проверим находятся ли значения в данном промежутке:

\(\arccos(\frac{\pi}{3}) + 2\pi, \arccos(\frac{\pi}{3}) + \pi\)

Это будут все корни данных уравнений, которые принадлежат промежутку \([-7\pi/2; -2\pi]\).

Пожалуйста, обратите внимание, что все результаты можно упростить или преобразовать в другие формы, если потребуется.