На сколько часов автобус находился в пути, если его скорость меньше скорости мотоциклиста и они прибыли в пункт

Витальевич_5463

24

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется установить связь между скоростью, временем и расстоянием. Пусть скорость автобуса будет обозначена буквой \(V_{\text{авт}}\) (в километрах в час), скорость мотоциклиста - \(V_{\text{мот}}\) (в километрах в час).

Теперь обратимся к условию задачи. Нам дано, что автобус находился в пути дольше мотоциклиста. Пусть время пути автобуса будет обозначено \(T_{\text{авт}}\) (в часах). Нам также известно, что автобус и мотоциклист прибыли в пункт В одновременно, хотя мотоциклист отправился через 20 минут после автобуса из пункта A. Выразим это условие в виде уравнения.

Время пути мотоциклиста будет равно времени пути автобуса минус 20 минут (или \(\frac{1}{3}\) часа, так как 20 минут это \(\frac{20}{60} = \frac{1}{3}\) часа). То есть \(T_{\text{мотор}} = T_{\text{авт}} - \frac{1}{3}\).

Для нахождения связи между скоростью, временем и расстоянием, воспользуемся формулой \(D = V \cdot T\), где \(D\) - расстояние (в километрах).

Теперь применим эту формулу к автобусу и мотоциклисту. Расстояние, которое проехал автобус, будет равно его скорости умноженной на время. То есть \(D_{\text{авт}} = V_{\text{авт}} \cdot T_{\text{авт}}\).
Аналогично для мотоциклиста: \(D_{\text{мот}} = V_{\text{мот}} \cdot T_{\text{мот}}\).

Из условия задачи нам дано, что автобус находился в пути дольше мотоциклиста. То есть расстояние, которое проехал автобус, больше расстояния, которое проехал мотоциклист. Математически это выражается следующим образом: \(D_{\text{авт}} > D_{\text{мот}}\).

Теперь подставим выражения для расстояний и времени в это неравенство:
\(V_{\text{авт}} \cdot T_{\text{авт}} > V_{\text{мот}} \cdot T_{\text{мот}}\).

Заменим формулы для времени:
\(V_{\text{авт}} \cdot T_{\text{авт}} > V_{\text{мот}} \cdot (T_{\text{авт}} - \frac{1}{3})\).

Раскроем скобки:
\(V_{\text{авт}} \cdot T_{\text{авт}} > V_{\text{мот}} \cdot T_{\text{авт}} - \frac{V_{\text{мот}}}{3}\).

Перенесем все слагаемые с \(V_{\text{мот}}\) на одну сторону:
\(V_{\text{авт}} \cdot T_{\text{авт}} - V_{\text{мот}} \cdot T_{\text{авт}} > - \frac{V_{\text{мот}}}{3}\).

Вынесем общий множитель \(T_{\text{авт}}\):
\((V_{\text{авт}} - V_{\text{мот}}) \cdot T_{\text{авт}}> - \frac{V_{\text{мот}}}{3}\).

Разделим обе части неравенства на \(V_{\text{авт}} - V_{\text{мот}}\):
\(T_{\text{авт}}> - \frac{V_{\text{мот}}}{3} \div (V_{\text{авт}} - V_{\text{мот}})\).

Так как \(V_{\text{авт}}\) меньше \(V_{\text{мот}}\), то \(V_{\text{авт}} - V_{\text{мот}}\) отрицательное число. При делении отрицательного числа на положительное, знак неравенства меняется, поэтому получаем:
\(T_{\text{авт}}> \frac{V_{\text{мот}}}{3} \div (V_{\text{мот}} - V_{\text{авт}})\).

Теперь известно, что мотоциклист отправился через 20 минут после автобуса из пункта А. Это означает, что время пути автобуса и мотоциклиста равны:
\(T_{\text{авт}} = T_{\text{мот}}\).

Подставим это равенство в предыдущее неравенство:
\(T_{\text{мот}}> \frac{V_{\text{мот}}}{3} \div (V_{\text{мот}} - V_{\text{авт}})\).

Теперь выражем время пути мотоциклиста:
\(T_{\text{мот}} > \frac{V_{\text{мот}}}{3} \div (V_{\text{мот}} - V_{\text{авт}})\).

Умножим обе части неравенства на \((V_{\text{мот}} - V_{\text{авт}})\):
\(T_{\text{мот}} \cdot (V_{\text{мот}} - V_{\text{авт}}) > \frac{V_{\text{мот}}}{3}\).

Раскроем скобку:
\(T_{\text{мот}} \cdot V_{\text{мот}} - T_{\text{мот}} \cdot V_{\text{авт}} > \frac{V_{\text{мот}}}{3}\).

Теперь найдем выражение для времени пути автобуса с помощью равенства \(T_{\text{авт}} = T_{\text{мот}}\):
\(T_{\text{авт}} = T_{\text{мот}} = \frac{V_{\text{мот}}}{3}\).

Из этого равенства получаем:
\(T_{\text{авт}} \cdot V_{\text{мот}} - T_{\text{рав}} \cdot V_{\text{авт}} > \frac{V_{\text{мот}}}{3}\).

Теперь выразим время пути автобуса:
\(T_{\text{авт}} > \frac{V_{\text{мот}}}{3} \cdot \frac{3}{V_{\text{мот}} - V_{\text{авт}}}\).

Простофункцируем числители:
\(T_{\text{авт}} > \frac{1}{1 - \frac{V_{\text{авт}}}{V_{\text{мот}}}}\).

И теперь выразим время пути автобуса:
\(T_{\text{авт}} = \frac{1}{1 - \frac{V_{\text{авт}}}{V_{\text{мот}}}}\).

Таким образом, мы получили, что время пути автобуса можно найти по формуле \(T_{\text{авт}} = \frac{1}{1 - \frac{V_{\text{авт}}}{V_{\text{мот}}}}\). Подставьте значения скоростей автобуса и мотоциклиста в эту формулу, чтобы найти итоговое значение времени пути автобуса.