На сколько часов автобус находился в пути, если его скорость меньше скорости мотоциклиста и они прибыли в пункт

Витальевич_5463

24

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется установить связь между скоростью, временем и расстоянием. Пусть скорость автобуса будет обозначена буквой $V_{\text{авт}}$ (в километрах в час), скорость мотоциклиста - $V_{\text{мот}}$ (в километрах в час).

Теперь обратимся к условию задачи. Нам дано, что автобус находился в пути дольше мотоциклиста. Пусть время пути автобуса будет обозначено $T_{\text{авт}}$ (в часах). Нам также известно, что автобус и мотоциклист прибыли в пункт В одновременно, хотя мотоциклист отправился через 20 минут после автобуса из пункта A. Выразим это условие в виде уравнения.

Время пути мотоциклиста будет равно времени пути автобуса минус 20 минут (или $\frac{1}{3}$ часа, так как 20 минут это $\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$ часа). То есть $T_{\text{мотор}}=T_{\text{авт}}-\frac{1}{3}$.

Для нахождения связи между скоростью, временем и расстоянием, воспользуемся формулой $D=V\cdot T$, где $D$ - расстояние (в километрах).

Теперь применим эту формулу к автобусу и мотоциклисту. Расстояние, которое проехал автобус, будет равно его скорости умноженной на время. То есть $D_{\text{авт}}=V_{\text{авт}}\cdot T_{\text{авт}}$.
Аналогично для мотоциклиста: $D_{\text{мот}}=V_{\text{мот}}\cdot T_{\text{мот}}$.

Из условия задачи нам дано, что автобус находился в пути дольше мотоциклиста. То есть расстояние, которое проехал автобус, больше расстояния, которое проехал мотоциклист. Математически это выражается следующим образом: $D_{\text{авт}}>D_{\text{мот}}$.

Теперь подставим выражения для расстояний и времени в это неравенство:
$V_{\text{авт}}\cdot T_{\text{авт}}>V_{\text{мот}}\cdot T_{\text{мот}}$.

Заменим формулы для времени:
$V_{\text{авт}}\cdot T_{\text{авт}}>V_{\text{мот}}\cdot (T_{\text{авт}}-\frac{1}{3})$.

Раскроем скобки:
$V_{\text{авт}}\cdot T_{\text{авт}}>V_{\text{мот}}\cdot T_{\text{авт}}-\frac{V_{\text{мот}}}{3}$.

Перенесем все слагаемые с $V_{\text{мот}}$ на одну сторону:
$V_{\text{авт}}\cdot T_{\text{авт}}-V_{\text{мот}}\cdot T_{\text{авт}}>-\frac{V_{\text{мот}}}{3}$.

Вынесем общий множитель $T_{\text{авт}}$:
$(V_{\text{авт}}-V_{\text{мот}})\cdot T_{\text{авт}}>-\frac{V_{\text{мот}}}{3}$.

Разделим обе части неравенства на $V_{\text{авт}}-V_{\text{мот}}$:
$T_{\text{авт}}>-\frac{V_{\text{мот}}}{3}÷(V_{\text{авт}}-V_{\text{мот}})$.

Так как $V_{\text{авт}}$ меньше $V_{\text{мот}}$, то $V_{\text{авт}}-V_{\text{мот}}$ отрицательное число. При делении отрицательного числа на положительное, знак неравенства меняется, поэтому получаем:
$T_{\text{авт}}>\frac{V_{\text{мот}}}{3}÷(V_{\text{мот}}-V_{\text{авт}})$.

Теперь известно, что мотоциклист отправился через 20 минут после автобуса из пункта А. Это означает, что время пути автобуса и мотоциклиста равны:
$T_{\text{авт}}=T_{\text{мот}}$.

Подставим это равенство в предыдущее неравенство:
$T_{\text{мот}}>\frac{V_{\text{мот}}}{3}÷(V_{\text{мот}}-V_{\text{авт}})$.

Теперь выражем время пути мотоциклиста:
$T_{\text{мот}}>\frac{V_{\text{мот}}}{3}÷(V_{\text{мот}}-V_{\text{авт}})$.

Умножим обе части неравенства на $(V_{\text{мот}}-V_{\text{авт}})$:
$T_{\text{мот}}\cdot (V_{\text{мот}}-V_{\text{авт}})>\frac{V_{\text{мот}}}{3}$.

Раскроем скобку:
$T_{\text{мот}}\cdot V_{\text{мот}}-T_{\text{мот}}\cdot V_{\text{авт}}>\frac{V_{\text{мот}}}{3}$.

Теперь найдем выражение для времени пути автобуса с помощью равенства $T_{\text{авт}}=T_{\text{мот}}$:
$T_{\text{авт}}=T_{\text{мот}}=\frac{V_{\text{мот}}}{3}$.

Из этого равенства получаем:
$T_{\text{авт}}\cdot V_{\text{мот}}-T_{\text{рав}}\cdot V_{\text{авт}}>\frac{V_{\text{мот}}}{3}$.

Теперь выразим время пути автобуса:
$T_{\text{авт}}>\frac{V_{\text{мот}}}{3}\cdot \frac{3}{V_{\text{мот}}-V_{\text{авт}}}$.

Простофункцируем числители:
$T_{\text{авт}}>\frac{1}{1-\frac{V_{\text{авт}}}{V_{\text{мот}}}}$.

И теперь выразим время пути автобуса:
$T_{\text{авт}}=\frac{1}{1-\frac{V_{\text{авт}}}{V_{\text{мот}}}}$.

Таким образом, мы получили, что время пути автобуса можно найти по формуле $T_{\text{авт}}=\frac{1}{1-\frac{V_{\text{авт}}}{V_{\text{мот}}}}$. Подставьте значения скоростей автобуса и мотоциклиста в эту формулу, чтобы найти итоговое значение времени пути автобуса.