A) Табыңыз, 5 см және 3 см радиусы бар шеңберлерінің центрлері арасталу. b) 50 см аралығы бар сырттай шеңберлердің

Dobryy_Ubiyca

22

а) Шеңберлердің центрлерін табу үшін, радиусы бар шеңберлердің ортасын белгілеп отырмалымыз. Радиусы 5 см болатын шеңбердің ортасының жер координаттарының қосымшақы (0, 0) болады. Радиусы 3 см болатын шеңбердің ортасыны анықтау үшін, осы жер координаттарын пайдаланамыз.

Солай болса, радиусы 3 см болатын шеңбердің ортасының жер координаттары (3, 0) болады.

б) Бірінші шеңбердің радиусы 40 см болатына қарай, оның ортасының жер координаттарын (х₁, y₁) деп атаеміз. Екінші шеңбердің ортасының жер координаттарын (х₂, y₂) деп атаеміз. Қосулар қанаттарыдың орналасуы өзгеріп, шеңберлердің ортасының байланыс орны да өзгереді. Ал екішінші шеңбердің ортасының радиусын тауып отыру махаббаты екішінші шеңбердің радиусына әкеледі. Олардың орталасуының декарттық координаттарын тапу үшін нақты формулалардан пайдаланамыз.

\[
\begin{align*}
x₁ &= x₂ \\
y₁ &= y₂ \\
\sqrt{{(x₁ - 0)^2 + (y₁ - 0)^2}} &= 40 \\
\sqrt{{(x₂ - 0)^2 + (y₂ - 0)^2}} &= 50 \\
\end{align*}
\]

Бұл теңдеудердің жаулапаларын алып тастаймыз:

\[
\begin{align*}
x₁ &= x₂ \\
y₁ &= y₂ \\
x₁^2 + y₁^2 &= 1600 \\
x₂^2 + y₂^2 &= 2500 \\
\end{align*}
\]

Первое уравнение говорит о том, что координаты центров шаров равны. Второе уравнение говорит о том, что квадрат радиуса первого шара равен 1600. Третье уравнение говорит о том, что квадрат радиуса второго шара равен 2500.

x₁ и y₁ равны координатам центра первого шара, а x₂ и y₂ равны координатам центра второго шара.

1) Решим первое уравнение относительно x₁:

\[
x₁ = x₂
\]

2) Решим второе и третье уравнения относительно y₁ и y₂:

\[
y₁ = \sqrt{1600 - x₁^2}
\]

\[
y₂ = \sqrt{2500 - x₂^2}
\]

3) Подставим x₁ = x₂:

\[
y₁ = \sqrt{1600 - x₂^2}
\]

\[
y₂ = \sqrt{2500 - x₂^2}
\]

тапсыру үшін toplamalarды ойлап, y₂ - y₁ жатамдарынан:

\[
50 = \sqrt{2500 - x₂^2} - \sqrt{1600 - x₂^2}.
\]

Квадратис ыс табу үшін осы теңдеумен жаралымыз:


(5 + 5 * \sqrt{10 + 2 * \sqrt{15 - 3 * \sqrt{71 + 10 * \sqrt{15}}} + 8 * \sqrt{3 + \sqrt{71 + 10 * \sqrt{15}} + 2 * \sqrt{15 - 3 * \sqrt{71 + 10 * \sqrt{15}}} - 2 * \sqrt{15 + 3 * \sqrt{71 + 10 * \sqrt{15}}} - 2 * \sqrt{15 + 3 * \sqrt{71 + 10 * \sqrt{15}}}}})/2.


б) Қосулар қанаттарының орналасуы өзгеріп кеткеніне байланысты, үшінші шеңбердің ортасының радиусын тапу махаббаты бірінші шеңбердің радиусына әкеледі. Олардың орталасуының декарттық координаттарын табу үшін нақты формулалардан пайдаланамыз:

\[
\begin{align*}
x₁ &= x₂ \\
y₁ &= y₂ \\
\sqrt{{(x₁ - 0)^2 + (y₁ - 0)^2}} &= 40 \\
\sqrt{{(x₂ - 0)^2 + (y₂ - 0)^2}} &= 50 \\
\end{align*}
\]

Бұл теңдеудердің жаулапаларын алып тастаймыз:

\[
\begin{align*}
x₁ &= x₂ \\
y₁ &= y₂ \\
x₁^2 + y₁^2 &= 1600 \\
x₂^2 + y₂^2 &= 2500 \\
\end{align*}
\]

Первое уравнение говорит о том, что координаты центров шаров равны. Второе уравнение говорит о том, что квадрат радиуса первого шара равен 1600. Третье уравнение говорит о том, что квадрат радиуса второго шара равен 2500.

x₁ и y₁ равны координатам центра первого шара, а x₂ и y₂ равны координатам центра второго шара.

1) Решим первое уравнение относительно x₂:

\[
x₂ = x₁
\]

2) Решим второе и третье уравнения относительно y₁ и y₂:

\[
y₁ = \sqrt{1600 - x₁^2}
\]

\[
y₂ = \sqrt{2500 - x₂^2}
\]

3) Подставим x₂ = x₁:

\[
y₁ = \sqrt{1600 - x₁^2}
\]

\[
y₂ = \sqrt{2500 - x₁^2}
\]

Найдем разность y₂ - y₁:

\[
y₂ - y₁ = \sqrt{2500 - x₁^2} - \sqrt{1600 - x₁^2}
\]

x₁ = 40 см, следовательно:

\[
y₂ - y₁ = \sqrt{2500 - (40^2)} - \sqrt{1600 - (40^2)}
\]

\[
y₂ - y₁ = \sqrt{2500 - 1600} - \sqrt{1600 - 1600}
\]

\[
y₂ - y₁ = \sqrt{900} - \sqrt{0}
\]

\[
y₂ - y₁ = 30 - 0
\]

\[
y₂ - y₁ = 30 \text{ см}
\]

Поэтому разность равна 30 см.

с) Шеңберлердің центрлерін табу үшін, радиусы бар шеңберлердің ортасын белгілеп отырмалымыз. 25 см радиусты шеңбердің ортасының жер координаттарын (x₁, y₁) болады. 45 см радиусты шеңбердің ортасының жер координаттарын (x₂, y₂) болады. Декарттық координаттарды пайдалана отырып, теңдіктерді тапу үшін нақты формулалардан пайдаланамыз.

\[
\begin{align*}
x₁ &= x₂ \\
y₁ &= y₂ \\
\sqrt{{(x₁ - 0)^2 + (y₁ - 0)^2}} &= 25 \\
\sqrt{{(x₂ - 0)^2 + (y₂ - 0)^2}} &= 45 \\
\end{align*}
\]

Бұл теңдеудердің жауын байлап тастаймыз:

\[
\begin{align*}
x₁ &= x₂ \\
y₁ &= y₂ \\
x₁^2 + y₁^2 &= 625 \\
x₂^2 + y₂^2 &= 2025 \\
\end{align*}
\]

Первое уравнение говорит о том, что координаты центров шаров равны. Второе уравнение говорит о том, что квадрат радиуса первого шара равен 625. Третье уравнение говорит о том, что квадрат радиуса второго шара равен 2025.

x₁ и y₁ равны координатам центра первого шара, а x₂ и y₂ равны координатам центра второго шара.

1) Решим первое уравнение относительно x₂:

\[
x₂ = x₁
\]

2) Решим второе и третье уравнения относительно y₁ и y₂:

\[
y₁ = \sqrt{625 - x₁^2}
\]

\[
y₂ = \sqrt{2025 - x₂^2}
\]

3) Подставим x₂ = x₁:

\[
y₁ = \sqrt{625 - x₁^2}
\]

\[
y₂ = \sqrt{2025 - x₁^2}
\]

Теперь находим разность y₂ - y₁:

\[
y₂ - y₁ = \sqrt{2025 - x₁^2} - \sqrt{625 - x₁^2}
\]

Найдем значения разности для разных x₁:

При x₁ = 0 см:

\[
y₂ - y₁ = \sqrt{2025 - 0} - \sqrt{625 - 0}
\]

\[
y₂ - y₁ = \sqrt{2025} - \sqrt{625}
\]

\[
y₂ - y₁ = 45 - 25
\]

\[
y₂ - y₁ = 20
\]

При x₁ = 25 см:

\[
y₂ - y₁ = \sqrt{2025 - (25^2)} - \sqrt{625 - (25^2)}
\]

\[
y₂ - y₁ = \sqrt{2025 - 625} - \sqrt{625 - 625}
\]

\[
y₂ - y₁ = \sqrt{1400} - \sqrt{0}
\]

\[
y₂ - y₁ = \sqrt{1400}
\]

При x₁ = 40 см:

\[
y₂ - y₁ = \sqrt{2025 - (40^2)} - \sqrt{625 - (40^2)}
\]

\[
y₂ - y₁ = \sqrt{2025 - 1600} - \sqrt{625 - 1600}
\]

\[
y₂ - y₁ = \sqrt{425} - \sqrt{-975}
\]

\[
y₂ - y₁ = \sqrt{425}
\]

Таким образом, разность y₂ - y₁ может принимать значение 20 см или \(\sqrt{425}\) см в зависимости от значения x₁.