а) Выразите длины отрезков pq и ab через диагональ ac и докажите, что они делятся в одном и том же отношении

Morskoy_Skazochnik

55

а) Для начала выразим длины отрезков pq и ab через диагональ ac.
Обратимся к треугольнику acp. По теореме Пифагора, справедливо, что:
\[ac^2 = ap^2 + pc^2\]

Аналогично, рассмотрим треугольник aqc:
\[ac^2 = aq^2 + qc^2\]

Теперь выразим длины отрезков pq и ab с использованием обоих уравнений:
\[pq = ap - aq\]
\[ab = pc - qc\]

Теперь нам нужно доказать, что отрезки pq и ab делятся в одном и том же отношении.
Чтобы это сделать, рассмотрим отношение длин этих отрезков:
\[\frac{{pq}}{{ab}} = \frac{{ap - aq}}{{pc - qc}}\]

Так как мы хотим доказать, что это отношение константно, рассмотрим его производную:
\[\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{pq}}{{ab}}\right) = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{ap - aq}}{{pc - qc}}\right)\]

Продифференцируем числитель и знаменатель:
\[\frac{{d}}{{dx}}(ap - aq) = ap" - aq"\]
\[\frac{{d}}{{dx}}(pc - qc) = pc" - qc"\]

После дифференцирования, мы видим, что все скорости изменения участников исчезают, так как все они равны нулю. Следовательно, производная равна нулю:
\[\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{pq}}{{ab}}\right) = ap" - aq" - pc" + qc" = 0\]

Таким образом, мы доказали, что отрезки pq и ab делятся в одном и том же отношении.

б) Предположим, что длина большего основания ad равна x.
Из условия задачи известно, что площадь трапеции abcd равна сумме площадей треугольников pdc и paq:
\[s(abcd) = s(pdc) + s(paq)\]

Выразим площади этих треугольников через стороны:
\[s(abcd) = \frac{1}{2} \cdot (pc + ad) \cdot h + \frac{1}{2} \cdot (ap + qc) \cdot h\]
\[s(abcd) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (pc + ad + ap + qc)\]

Также известно, что площадь трапеции abcd равна:
\[s(abcd) = \frac{1}{2} \cdot (ab + cd) \cdot h\]

Сравнивая два выражения для площади трапеции, найдем выражение для меньшего основания bc:
\[\frac{1}{2} \cdot (ab + cd) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (pc + ad + ap + qc)\]
\[ab + cd = pc + ad + ap + qc\]
\[ab - ad = pc + qc\]
\[bc = pc + qc\]

Теперь выразим длины отрезков pq и ad через x:
\[pq = ap - aq = (ab - ad) - (cd - qc) = ab - cd + qc\]
\[ad = x\]

Подставим значения в уравнение, чтобы найти значение bc:
\[bc = pc + qc = pq - ab + cd = (ab - cd + qc) - ab + cd = qc\]

Таким образом, длина меньшего основания bc равна qc исходя из данного отношения площадей s(abpq) и s(dcpq).